二分法细节

二分查找算法

一、二分查找的框架

int binarySearch(int[] nums, int target) {
   int left = 0, right = ...;

while(...) {
     int mid = (right + left) / 2;
     if (nums[mid] == target) {
       ...
     } else if (nums[mid] < target) {
       left = ...
     } else if (nums[mid] > target) {
       right = ...
     }
   }
   return ...;
 }

分析二分查找的一个技巧是：不要出现 else，而是把所有情况用 else if 写清楚，这样可以清楚地展现所有细节。本文都会使用 else if，旨在讲清楚，读者理解后可自行简化。

其中...标记的部分，就是可能出现细节问题的地方，当你见到一个二分查找的代码时，首先注意这几个地方。后文用实例分析这些地方能有什么样的变化。

另外声明一下，计算 mid 时需要技巧防止溢出，建议写成: mid = left + (right - left) / 2，本文暂时忽略这个问题。

二、寻找一个数（基本的二分搜索）

这个场景是最简单的，可能也是大家最熟悉的，即搜索一个数，如果存在，返回其索引，否则返回 -1。

左闭右闭的模板

int binarySearch(int[] nums, int target) {
   int left = 0; 
   int right = nums.length - 1; // 注意

while(left <= right) { // 注意
     int mid = (right + left) / 2;
     if(nums[mid] == target)
       return mid; 
     else if (nums[mid] < target)
       left = mid + 1; // 注意
     else if (nums[mid] > target)
       right = mid - 1; // 注意
     }
   return -1;
 }

1. 为什么 while 循环的条件中是 <=，而不是 < ？

   • 答：因为初始化 right 的赋值是 nums.length - 1，即最后一个元素的索引，而不是 nums.length。
   • 这二者可能出现在不同功能的二分查找中，区别是：前者相当于两端都闭区间 [left, right]，后者相当于左闭右开区间 [left, right)，因为索引大小为 nums.length 是越界的。
   • 我们这个算法中使用的是 [left, right] 两端都闭的区间。这个区间就是每次进行搜索的区间，我们不妨称为「搜索区间」(search space)。
   • 什么时候应该停止搜索呢？当然，找到了目标值的时候可以终止

   if(nums[mid] == target)
     return mid; 
   

   • 但如果没找到，就需要 while 循环终止，然后返回 -1。那 while 循环什么时候应该终止？搜索区间为空的时候应该终止，意味着你没得找了，就等于没找到嘛。
   • while(left <= right)的终止条件是 left == right + 1，写成区间的形式就是 [right + 1, right]，或者带个具体的数字进去 [3, 2]，可见这时候搜索区间为空，因为没有数字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧。所以这时候 while 循环终止是正确的，直接返回 -1 即可。
   • while(left < right)的终止条件是 left == right，写成区间的形式就是 [right, right]，或者带个具体的数字进去 [2, 2]，这时候搜索区间非空，还有一个数 2，但此时 while 循环终止了。也就是说这区间 [2, 2] 被漏掉了，索引 2 没有被搜索，如果这时候直接返回 -1 就可能出现错误。
   • 当然，如果你非要用 while(left < right) 也可以，我们已经知道了出错的原因，就打个补丁好了：

   //...
    while(left < right) {
      // ...
    }
    return nums[left] == target ? left : -1; //注意 如果是插入位置 需要先判段left是否越界
   

2. 为什么 left = mid + 1，right = mid - 1？我看有的代码是 right = mid 或者 left = mid，没有这些加加减减，到底怎么回事，怎么判断？

   • 答：这也是二分查找的一个难点，不过只要你能理解前面的内容，就能够很容易判断。
   • 刚才明确了「搜索区间」这个概念，而且本算法的搜索区间是两端都闭的，即 [left, right]。那么当我们发现索引 mid 不是要找的 target 时，如何确定下一步的搜索区间呢？
   • 当然是去搜索 [left, mid - 1] 或者 [mid + 1, right] 对不对？因为 mid 已经搜索过，应该从搜索区间中去除。

3. 此算法有什么缺陷？

   • 答：至此，你应该已经掌握了该算法的所有细节，以及这样处理的原因。但是，这个算法存在局限性。
   • 比如说给你有序数组 nums = [1,2,2,2,3]，target = 2，此算法返回的索引是 2，没错。但是如果我想得到 target 的左侧边界，即索引 1，或者我想得到 target 的右侧边界，即索引 3，这样的话此算法是无法处理的。
   • 这样的需求很常见。你也许会说，找到一个 target 索引，然后向左或向右线性搜索不行吗？可以，但是不好，因为这样难以保证二分查找对数级的时间复杂度了。
   • 我们后续的算法就来讨论这两种二分查找的算法。（左闭右开的 插入位置的 刚好大于的 二分方法）

三、寻找左侧边界的二分搜索

//搜索>=target的第一个位置

直接看代码，其中的标记是需要注意的细节： //正常二分法左闭右开的模板

int left_bound(int[] nums, int target) {
   if (nums.length == 0) return -1;
   int left = 0;
   int right = nums.length; // 注意

while (left < right) { // 注意
     int mid = (left + right) / 2;
     if (nums[mid] == target) {
       right = mid;
     } else if (nums[mid] < target) {
       left = mid + 1;
     } else if (nums[mid] > target) {
       right = mid; // 注意
     }
   }
   return left;
 }

1. 为什么 while(left < right) 而不是 <= ? //注意 仅仅是因为right的初始化 两种模板没有差别 都可以使用

   • 答：用相同的方法分析，因为初始化 right = nums.length 而不是 nums.length - 1 。因此每次循环的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开。
   • while(left < right) 终止的条件是 left == right，此时搜索区间 [left, left) 恰巧为空，所以可以正确终止。

2. 为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？

   • 答：因为要一步一步来，先理解一下这个「左侧边界」有什么特殊含义：

     ​ target = 2

     pos: left mid mid+1 right

     nums: 1 2 2 4

     index: 0 1 2 3 4

   • 对于这个数组，算法会返回 1。这个 1 的含义可以这样解读：nums 中小于 2 的元素有 1 个。

   • 比如对于有序数组 nums = [2,3,5,7], target = 1，算法会返回 0，含义是：nums 中小于 1 的元素有 0 个。如果 target = 8，算法会返回 4，含义是：nums 中小于 8 的元素有 4 个。

   • 综上可以看出，函数的返回值（即 left 变量的值）取值区间是闭区间 [0, nums.length]，所以我们简单添加两行代码就能在正确的时候 return -1：

   while (left < right) {
      //...
    }
    // target 比所有数都大
    if (left == nums.length) return -1; //[1,2,2,4]搜索8返回left 4，越界
    // 类似之前算法的处理方式
    return nums[left] == target ? left : -1;
   

3. 为什么 left = mid + 1，right = mid ？和之前的算法不一样？

• 答：这个很好解释，因为我们的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开，所以当 nums[mid] 被检测之后，下一步的搜索区间应该去掉 mid 分割成两个区间，即 [left, mid) 或 [mid + 1, right)。(mid已被被搜索判断)

4. 为什么该算法能够搜索左侧边界？

   • 答：关键在于对于 nums[mid] == target 这种情况的处理：

   if (nums[mid] == target)
        right = mid;
   

   • 可见，找到 target 时不要立即返回，而是缩小「搜索区间」的上界 right，在区间 [left, mid) 中继续搜索，即不断向左收缩，达到锁定左侧边界的目的。

5. 为什么返回 left 而不是 right？

   • 答：返回left和right都是一样的，因为 while 终止的条件是 left == right。

6. 经测试， 两种写法返回值完全一致

     //二分法细节 <写法
     int left_bound(vector<int> nums, int target) {
       if (nums.size() == 0)
         return -1;
       int left = 0;
       int right = nums.size(); // 注意
   
       while (left < right) { // 注意
         int mid = (left + right) / 2;
         if (nums[mid] == target) {
           right = mid;
         } else if (nums[mid] < target) {
           left = mid + 1;
         } else if (nums[mid] > target) {
           right = mid; // 注意
         }
       }
       // return left;    //返回>=target的左边界位置 [0,nums.size()]
   
       // 返回第一个target的位置 没有则返回-1；
       {
         if (left == nums.size())
           return -1; //[1,2,2,4]搜索8返回left 4，越界
                      // 类似之前算法的处理方式
         return nums[left] == target ? left : -1;
       }
     }
   
     //<= 写法 完全一致
     int left_bound2(vector<int> nums, int target) {
       if (nums.size() == 0)
         return -1;
       int left = 0;
       int right = nums.size() - 1; // 注意
   
       while (left <= right) { // 注意
         int mid = (left + right) / 2;
         if (nums[mid] == target) {
           right = mid - 1;
         } else if (nums[mid] < target) {
           left = mid + 1;
         } else if (nums[mid] > target) {
           right = mid - 1; // 注意
         }
       }
       // return left; //返回>=target的左边界位置 [0,nums.size()]
   
       // 返回第一个target的位置 没有则返回-1；
       {
         if (left == nums.size())
           return -1; //[1,2,2,4]搜索8返回left 4，越界
                      // 类似之前算法的处理方式
         return nums[left] == target ? left : -1;
       }
     }
   

**四、寻找右侧边界的二分查找 **

//所有=target的最后一个位置 > target的第一个位置

寻找右侧边界和寻找左侧边界的代码差不多，只有两处不同，已标注：

int right_bound(int[] nums, int target) {
   if (nums.length == 0) return -1;
   int left = 0, right = nums.length;

while (left < right) {
     int mid = (left + right) / 2;
     if (nums[mid] == target) {
       left = mid + 1; // 注意
     } else if (nums[mid] < target) {
       left = mid + 1;
     } else if (nums[mid] > target) {
       right = mid;
     }
   }
   return left - 1; // 注意
}

1. 为什么这个算法能够找到右侧边界？

   • 答：类似地，关键点还是这里：

    if (nums[mid] == target) {
        left = mid + 1;     //与模板对应一致
   

   • 当 nums[mid] == target 时，不要立即返回，而是增大「搜索区间」的下界 left，使得区间不断向右收缩，达到锁定右侧边界的目的。

2. 为什么最后返回 left - 1 而不像左侧边界的函数，返回 left？而且我觉得这里既然是搜索右侧边界，应该返回 right 才对。

   • 答：首先，while 循环的终止条件是 left == right，所以 left 和 right 是一样的，你非要体现右侧的特点，返回 right - 1 好了。

     target = 2

     pos: left mid mid+1 right

     nums: 1 2 2 4

     index: 0 1 2 3 4

   • 至于为什么要减一，这是搜索右侧边界的一个特殊点，关键在这个条件判断：

   if (nums[mid] == target) {
        left = mid + 1;
        // 这样想: mid = left - 1
   

   • 因为我们对 left 的更新必须是 left = mid + 1，就是说 while 循环结束时，nums[left] 一定不等于 target 了，而 nums[left - 1]可能是target。
   • 至于为什么 left 的更新必须是 left = mid + 1，同左侧边界搜索，就不再赘述。

3. 为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？

   • 答：类似之前的左侧边界搜索，因为 while 的终止条件是 left == right，就是说 left 的取值范围是 [0, nums.length]，所以可以添加两行代码，正确地返回 -1：

   while (left < right) {
      // ...
   }
   if (left == 0) return -1;  //这个例子搜索0 就是返回left 0
   return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;
   

4. 经测试， 两种写法返回值完全一致

     //二分法细节 查找右边界
     //<写法
     int right_bound(vector<int> nums, int target) {
       if (nums.size() == 0)
         return -1;
       int left = 0, right = nums.size();
   
       while (left < right) {
         int mid = (left + right) / 2;
         if (nums[mid] == target) {
           left = mid + 1; // 注意
         } else if (nums[mid] < target) {
           left = mid + 1;
         } else if (nums[mid] > target) {
           right = mid;
         }
       }
       // return left - 1; //返回>=target的右边界位置 [0,nums.size()]
   
       // 返回最后一个target的位置 没有则返回-1；
       {
         if (left == 0)
           return -1; //这个例子搜索0 就是返回left 0
         return nums[left - 1] == target ? (left - 1) : -1;
       }
     }
   
     //<=写法
     int right_bound2(vector<int> nums, int target) {
       if (nums.size() == 0)
         return -1;
       int left = 0, right = nums.size() - 1;
   
       while (left <= right) {
         int mid = (left + right) / 2;
         if (nums[mid] == target) {
           left = mid + 1; // 注意
         } else if (nums[mid] < target) {
           left = mid + 1;
         } else if (nums[mid] > target) {
           right = mid - 1;
         }
       }
       // return left - 1; //返回>=target的右边界位置 [0,nums.size()]
   
       // 返回最后一个target的位置 没有则返回-1；
       {
         if (left == 0)
           return -1; //这个例子搜索0 就是返回left 0
         return nums[left - 1] == target ? (left - 1) : -1;
       }
     }
   

五、最后总结

先来梳理一下这些细节差异的因果逻辑：

1. 第一个，最基本的二分查找算法：

   因为我们初始化 right = nums.length - 1
   所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right]
   所以决定了 while (left <= right)
   同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid-1

   因为我们只需找到一个 target 的索引即可
   所以当 nums[mid] == target 时可以立即返回

2. 第二个，寻找左侧边界的二分查找：

   因为我们初始化 right = nums.length
   所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
   所以决定了 while (left < right)
   同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid

   因为我们需找到 target 的最左侧索引
   所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
   而要收紧右侧边界以锁定左侧边界

3. 第三个，寻找右侧边界的二分查找：

   因为我们初始化 right = nums.length
   所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
   所以决定了 while (left < right)
   同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid

   因为我们需找到 target 的最右侧索引
   所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
   而要收紧左侧边界以锁定右侧边界

   又因为收紧左侧边界时必须 left = mid + 1
   所以最后无论返回 left 还是 right，必须减一

• 分析二分查找代码时，不要出现 else，全部展开成 else if 方便理解。

• 注意「搜索区间」和 while 的终止条件，如果存在漏掉的元素，记得在最后检查。
• 如需要搜索左右边界，只要在 nums[mid] == target 时做修改即可。搜索右侧时需要减一。
  转载自详解二分查找算法 https://www.cnblogs.com/kyoner/p/11080078.html