$Edmonds-Karp$[网络流]

(原题戳这里)

>最大流最小割定理$(Maximum Flow, Minimum Cut Theorem): $

网络的最大流等于最小割

具体的证明分三部分
1.任意一个流都小于等于任意一个割 这个很好理解 自来水公司随便给你家通点水 构成一个流 恐怖分子随便砍几刀 砍出一个割 由于容量限制 每一根的被砍的水管子流出的水流量都小于管子的容量 每一根被砍的水管的水本来都要到你家的 现在流到外面 加起来得到的流量还是等于原来的流 管子的容量加起来就是割 所以流小于等于割 由于上面的流和割都是任意构造的 所以任意一个流小于任意一个割
2.构造出一个流等于一个割 当达到最大流时 根据增广路定理 残留网络中s到t已经没有通路了 否则还能继续增广 我们把s能到的的点集设为S 不能到的点集为T 构造出一个割集(C[S,T] S)到T的边必然满流 否则就能继续增广 这些满流边的流量和就是当前的流即最大流
把这些满流边作为割 就构造出了一个和最大流相等的割
3.最大流等于最小割 设相等的流和割分别为Fm和Cm 则因为任意一个流小于等于任意一个割 任意(F≤Fm=Cm≤任意C) 定理说明完成，证明如下： 对于一个网络流图(G=(V,E))，其中有源点s和汇点t，那么下面三个条件是等价的：

1. 流f是图G的最大流
2. 残留网络Gf不存在增广路
3. 对于G的某一个割((S,T))，此时(f = C(S,T)) 首先证明(1 => 2)：

我们利用反证法，假设流f是图G的最大流，但是残留网络中还存在有增广路(p)，其流量为(fp)。则我们有流(f’=f+fp>f)。这与(f)是最大流产生矛盾。
接着证明(2 => 3)：

假设残留网络(Gf)不存在增广路，所以在残留网络(Gf)中不存在路径从s到达t。我们定义S集合为：当前残留网络中s能够到达的点。同时定义(T=V-S)。
此时((S,T))构成一个割((S,T))。且对于任意的(u∈S,v∈T)，有(f(u,v)=c(u,v))。若(f(u,v) < c(u,v))，则有(Gf(u,v) > 0)，s可以到达v，与v属于T矛盾。
因此有(f(S,T)=Σf(u,v)=Σc(u,v)=C(S,T))。 最后证明(3 => 1)：

由于f的上界为最小割，当f到达割的容量时，显然就已经到达最大值，因此f为最大流。 这样就说明了为什么找不到增广路时，所求得的一定是最大流。
源点：只有流出去的点
汇点：只有流进来的点
流量：一条边上流过的流量
容量：一条边上可供流过的最大流量
残量：一条边上的容量-流量
EK时间复杂度:(O(n m^2))

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL ;
inline LL In() { LL res(0),f(1); register char c = getchar() ;
	while(!isdigit(c)) { if(c == '-') f = -1 ; c = getchar() ; }
	while(isdigit(c)) res = (res << 1) + (res << 3) + (c & 15) , c = getchar() ; return res * f ;
}
const int INF = 0x3f3f3f3f ;
const int N = 1000000 + 5 ;

int n , m , s , t ;
int cnt = 1 ;
int cost[N] ;
int from[N] ; int to[N] ; int nxt[N] ; int head[N] ;
int dis[N] ; int vis[N] ;
int flow[N] ; int last[N] ;
int maxflow ;
queue <int> q ;
inline void Add(int x,int y,int z) {
	cost[++cnt] = z ;
	from[cnt] = x ;
	to[cnt] = y ;
	nxt[cnt] = head[x] ;
	head[x] = cnt ;
}
inline bool bfs(int s,int y) {
 for(register int i = 1 ; i <= n ; i ++) last[i] = 0 , vis[i] = -1 ;
	q.push(s) , dis[s] = 0 , vis[s] = 1 , flow[s] = INF ;
	while(!q.empty()) {
		int u = q.front() ;
		q.pop() ;
		vis[u] = 0 ;
		for(register int i = head[u] ; i != -1 ; i = nxt[i]) {
			int v = to[i];
			if(cost[i] and vis[v] == -1) {
				flow[v] = min (flow[u] , cost[i]) ;
				last[v] = i ; q.push(v) ; vis[v] = u ;
			}
		}
	}
	if(vis[t] != -1) return 1;
	return 0 ;
}
inline void update(int s,int t) {
	int now = t ;
	while(now != s) {
		int i = last[now] ;
		cost[i] -= flow[t] ;
		cost[i^1] += flow[t] ;
		now = from[i] ;
	}
	maxflow += flow[t] ;
}
inline void EK() {
	maxflow = 0 ;
	while(bfs(s,t) == 1) update(s,t) ;
}
signed main() {
	n = In() ; m = In() ;
	s = In() ; t = In() ;
	memset(head,-1,sizeof(head)) ;
	for(register int i = 1 ; i <= m ; i ++) {
		int x = In() ;
		int y = In() ;
		int z = In() ;
		Add(x,y,z) ; Add(y,x,0) ;
	}
	EK() ;
	cout << maxflow << endl ;
	return 0;
}