前缀和
前缀和是一种很重要的思想 其实这个思想很简单
就是一次预处理 把原来O(N*M)的复杂度降到O(N+M)
∑a[i]+...+a[j]=sum[j]-sum[i-1];
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; inline ll read() { ll x=0,f=1; char ch=getchar(); while(!isdigit(ch)) (ch=='-')?(f=-1,ch=getchar()):ch=getchar(); while(isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar(); return x*f; } int n; const int N=1<<20; int a[N],sum[N]; signed main(){ memset(sum,0,sizeof(sum));//先清空数组 n=read(); for(register int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();//读入 for(register int i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+a[i];//前缀和 }
那么区间的数值查询该怎么做呢
假设有m次查询
for(register int i=1;i<=m;i++) { int x=read(),y=read(); ans=sum[y]-sum[x-1]; }
ans=∑a[x]+...a[y];
如上所述
∑a[x]+...a[y]=sum[y]-sum[x-1];
想想看为什么要 -1 而不是 sum[y]-sum[x]
举个例子：
n=5
| i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| a[i] | 5 | 3 | 4 | 2 | 1 |
| sum[i] | 5 | 8 | 12 | 14 | 15 |
看例子 自己体会吧...（我太菜了讲不明白）
接下来来几道例题
例1
Problem
给出一个含有n个整数的数列a，并且有m次询问，每次询问数列在区间[l,r][l,r]内的和，即求a[l]+a[l+1]+…+a[r]的值。
Input Data
第一行为一个整数 T （1≤T≤50），表示共有T组输入数据；
对于每组数据，第一行是两个正整数 n，m （1≤n≤100000 ,1≤m≤1000）分别代表数列长度和询问次数；
第二行有 n 个正整数，第 i 个数表示数列元素 a[i]（1≤a[i]≤109）的值；
接下来 m 行，每行有两个正整数 l，r （l≤r≤n），代表询问内容。
Output Data
每组数据输出 m 行，每行一个数为该次询问的区间和。
保证数据都在64位正整数范围内。
裸题
#include<bits/stdc++.h> #define ULL unsigned long long #define MAXN 100000+5 #define f(i,j,n) for(register int i=j;i<=n;i++) using namespace std; ULL T,a[MAXN],n,m; void solve(int T) { while(T--) { memset(a,0,sizeof(a)); cin>>n>>m; f(i,1,n) { int x; cin>>x; a[i]=a[i-1]+x; } f(i,1,m) { int l,r; cin>>l>>r; cout<<a[r]-a[l-1]<<endl; } } } int main() { cin>>T; solve(T); return 0; }
例2
Problem
给定n个整数构成的序列，所有相邻的m个数有n−m+1个，求其中的最小值。
Input Data
第一行，2个整数n和m，范围在[3…100000],n>m;
第二行，有n个正整数，范围在[3…1000]。
Output Data
一个整数，表示最小值。
这题是通过预处理之后再进行枚举（也是前缀和的通常做法）
#include<bits/stdc++.h> #define ULL unsigned long long #define MAXN 100000+5 #define f(i,j,n) for(register int i=j;i<=n;i++) #define INF 2147483647 using namespace std; ULL a[MAXN],n,m,MIN=INF; void solve(int T) { while(T--) { memset(a,0,sizeof(a)); cin>>n>>m; f(i,1,n) { int x; cin>>x; a[i]=a[i-1]+x; } f(i,m,n) MIN=min(MIN,a[i]-a[i-m]); cout<<MIN<<endl; } } int main() { solve(1); return 0; }
例3
在一个n∗m的只包含0和1的矩阵里找出一个不包含0的最大正方形，输出边长。
Input Data
第一行为两个整数n,m（1≤n,m≤100），接下来n行，每行m个数字，用空格隔开，0或1。
Output Data
一个整数，最大正方形的边长
#include<bits/stdc++.h> #define ULL unsigned long long #define MAXN 100+5 #define f(i,j,n) for(register int i=j;i<=n;i++) using namespace std; ULL T,a[MAXN][MAXN],n,m; int q(int i,int j,int k,int l) { f(p,i,j) f(q,k,l) if(a[p][q]==0) return 0; return min(j-i+1,l-k+1); } void solve(int T) { int ans=0; while(T--) { memset(a,0,sizeof(a)); cin>>n>>m; f(i,1,n) f(j,1,m) { int x; cin>>x; a[i][j]=x; } f(i,1,n) f(j,i,n) f(k,1,m) f(l,k,m) ans=max(ans,q(i,j,k,l)); cout<<ans<<endl; } } int main() { solve(1); return 0; }
例4
拓展（二维前缀和）
#include<bits/stdc++.h> #define f(i,j,n) for(register int i=j;i<=n;i++) using namespace std; const int N=100; int n,m; int a[N][N]; int main() { scanf("%d",&n,&m); f(i,1,n) f(j,1,m) { int x; scanf("%d", &x); a[i][j]=x+a[i-1][j]+a[i][j-1]-a[i-1][j-1]; } int x1, y1, x2, y2; while(~scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2)) printf("%d ",a[x2][y2]-a[x1-1][y2]-a[x2][y1-1]+a[x1-1][y1-1]); return 0; }
BZOJ1218
HNOI2003
Problem
一种新型的激光炸弹，可以摧毁一个边长为R的正方形内的所有的目标。
现在地图上有n(n≤10000)个目标，用整数Xi,Yi(其值在[0,5000][0,5000])表示目标在地图上的位置，每个目标都有一个价值。激光炸弹的投放是通过卫星定位的，但其有一个缺点，就是其爆破范围，即那个边长为R的正方形的边必须和x，y轴平行。若目标位于爆破正方形的边上，该目标将不会被摧毁。
Input Data
输入文件的第一行为正整数n和正整数R，
接下来的n行每行有3个正整数，分别表示xi,yi,vi
Output Data
输出文件仅有一个正整数，表示一颗炸弹最多能炸掉地图上总价值为多少的目标（结果不会超过32767）。
#include <bits/stdc++.h> #define f(i,j,n) for(register int i=j;i<=n;i++) #define M 5010 using namespace std; int n,r,ans,sum[M][M]; int main() { int x,y,z; cin>>n>>r; f(i,1,n) scanf("%d%d%d",&x,&y,&z),sum[x+1][y+1]+=z; f(i,1,5000) f(j,1,5000) sum[i][j]+=sum[i-1][j]; f(i,1,5000) f(j,1,5000) sum[i][j]+=sum[i][j-1]; f(i,r,5000) f(j,r,5000) ans=max(ans,sum[i][j]+sum[i-r][j-r]-sum[i][j-r]-sum[i-r][j]); cout<<ans<<endl; return 0; }
（代码都是好久以前写的了 码风可能不太好 见谅）