矩阵链乘法问题

问题描述：

给定n个矩阵的链<A1,A1,A3...An>，矩阵Ai的规模(行列)为pi-1xpi（1<=i<=n），求矩阵链的完全括号化方案，使得矩阵乘积A1A2A3...An所需的标量乘法次数最小（假定所给举证链满足相容性，能够正确的进行矩阵运算）。

注：假设矩M的规模为pxq，矩阵N的规模为qxr，那么，矩阵乘法MXN的标量乘法次数为pqr。

分析：

重点在于分析其最优子结构性质，并且导出递推公式。

有j-i+1个矩阵，进行矩阵链乘：AiAi+1Ai+2..AkAk+1...Aj-1Aj，假设其最优括号化方案在Ak这个地方划分，则整个Ai到Aj矩阵链的最低代价三部分相加：

1、前半部分分矩阵链AiAi+1Ai+2..Ak（其连乘后的结果是规模为pi-1xpk的矩阵）的最低代价；

2、后半部分矩阵链Ak+1...Aj-1Aj（其连乘后的结果是规模为pkxpj的矩阵）最低代价；

3、pi-1xpk阶的矩阵与pkxpj阶的矩阵相乘的标量乘法次数：pi-1pkpj。

但是是Ak这个分割点是不定的，在Ai到Aj（出Aj外）之间的每矩阵都有可能作为这个最有的划分点。因此需要找出在遍历意义下的最小代价。

假设C(i,j)是这些矩阵链乘的最小代价，那么递推式

另外，对于输入数据的处理，因为矩阵链都是相容的，所以实际上可以用一个一维数组存储依次存储每个矩阵的行列数（要去重）。

例如矩阵链A1...A6如下：

可以用一维数组p来存储：

        int[] p = {30,35,15,5,10,20,25};

A1的规模可以表示为：p[0]xp[1]

A2的规模可以表示为：p[1]x[2]

更一般的，Ai的规模可以表示为p[i-1]xp[i]

算法实现：

package agdp;
public class Matrix {
    public static int getMinCost(int[] p){
        int n = p.length-1;//n为矩阵链中矩阵的个数，等于p长度-1
        int[][] aux = new int[n+1][n+1];//辅助数组,为方便计算，第0行和第0列不利用
        for (int l = 2; l <= n; l++) {//矩阵链的长度，从2开始，一直到长度为n结束，满足l=j-i+1
            for (int i = 1,j; i <= n-l+1; i++) {//当j=n是，i到最大值，所以i<=n-l+1
                j = i+l-1;
                aux[i][j] = Integer.MAX_VALUE;
                for (int k = i; k < j; k++) {//遍历Ai到Aj矩阵链中每一个位置,并存储最小者
                    aux[i][j] = Math.min(aux[i][k]+aux[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j], aux[i][j]);
                }
            }
        }
        return aux[1][n];
    }
    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
        int[] p = {30,35,15,5,10,20,25};
        int result = getMinCost(p);
        System.out.println(result);
    }
}

不同的l=j-i+1链的长度会导致l先链从做到右形成一个“滑动窗口”。

其计算过程中全部的子问题的解都存储在aux数组中，该aux中有效数据是一个上三角矩阵。