【算法21】从1到n的正数中1的出现次数

　　【题   目】输入一个整数n，求从1到n这n个正数中，1出现的次数。例如：输入12，出现一的数字有1，10，11，12共有5个1，则输出5.

　　【思 路1】几乎所有的算法题目都有很直观容易想到的方法，当然这类方法的效率通常都不是很好，然而解决问题是第一要义。所以还是从最容易想到的入手。我们可以遍历从1到n的每一个数字k，对于k我们计算出它其中包含的1的个数，方法其实很简单，只需要分别判断个位，十位，百位，千位等的每一位是否为1，然后用计数器记录就OK了。这种思路很简单，我们很容易就可以写出如下的代码：

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;

//返回任意一个整数k中包含的1的个数
int NumbersOf1s(unsigned int k)
{
    int cnt = 0;
    while(k)
    {
        //该位是1，计数器就加1；
        if(k % 10 == 1)
            cnt++;

        k = k / 10;
    }

    return cnt;
}

//返回从1到n的n个整数中所包含的1的个数
int NumbersOf1sFrom1ToN(unsigned int n)
{
    if(n < 0)
        return 0;

    int count = 0;
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        count += NumbersOf1s(i);
    }

    return count;
}

int main()
{
    cout<<"Please Enter the number N:"<<endl;
    unsigned int number = 0;
    cin>>number;

    cout<<"The Numbers of 1 From 1 to N is:"<<endl;
    cout<<NumbersOf1sFrom1ToN(number)<<endl;
    
    return 0;
}

　　运行结果如下：

　

---

【思 路2】上述算法的效率不是很好，尤其对于n非常大的情况，这种算法花费的时间很长。其实我们并不需要对于每一个数字计算出它包含的1的个数，我们可以逐位考虑，所有1的个数等于个位上1的个数+十位上1的个数+百位上1的个数+千位上1的个数+。。。接下来的问题，就是如何求解这些位上1的个数？

　　首先，我们有如下比较容易得到的结论，0-9中1的个数是1个，0-99中十位（10-19）上1的个数是10，0-999中百位上（100-199）上1的个数是100，以此类推。为什么需要这些数字，我们经过简单罗列，很容易发现：个位上1的个数，实际上和这个数字包含多少个10有关，因为对于个位来说，总是从0-9循环，十位上1的个数，实际上和这个数字包含多少个100有关，因为每包含1个100，就有0-99的循环，而0-99中十位上的1是10个；那么关系究竟是什么呢？我们看下面的例子来理解：

　　对于数字123：

　　123/10=12，包含12个10，每个10包含1个1（个位1）所以个位共包含12*1=12个1；余数的情况后面单独讨论；

　　123/100（或者12/10）=1，包含1个100，每个100包含10个1（十位1），所以十位共包含1*10=10个1；余数的情况后面单独讨论；

　　123/1000（或者1/10）=0，包含0个1000，每个1000包含100个1（百位1），所以百位共包含0*100=0个1；余数的情况后面单独讨论；

　　现在考虑余数的两种情况：

　　（1）余数大于1的情况：

　　数个位时，余数3大于1；所以个位上1的个数要+1；

　　数十位时，余数2大于1；因为增加了100-120之间（10-19）的数字即110-119，所以十位上1的个数要+10；

　　（2）余数等于1的情况：

　　数百位时，余数等于1；我们应该增加100-123这24个数字中百位上的1，共计24个；

　　在上面的计算中我们发现123/1000=0包含0个1000，所以百位包含0*100个1,这是常规的情况，实际上由于百位为1，从100到n（123）中还应增加：123-100+1个1.

　　总结上面的情况：就是对于每一位（个位，十位，百位），我们计算他们“通常”情况下（即该数字包含多少个10，100，1000乘以对应的1的个数）包含的1的个数+该位上余数大于1（等于1）的情况下包含的1的个数 = 该位上1的总个数，所有的位遍历，求和，就OK了。根据这种思路我们可以得到如下的代码：

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;

int NumbersOf1sFrom1ToN(unsigned int n)
{
    int currentN = n;
    
    //计数器
    int cnt = 0;

    //商，计算该数字包含多少个10，100，1000等
    int quotient = 0;
    
    //余数，计算除去“整”的包含，剩下的数字包含的1的个数
    int remainder = 0;
    
    //每一轮循环中的权重，分别记录10，100，1000中包含多少个位1，十位1，百位1；
    int mult = 1;
    
    while(currentN)
    {
        quotient = currentN / 10;
        remainder = currentN % 10;
        
        //包含多少个10，100，1000，乘以对应的数量的个位1，十位1，百位1
        cnt += quotient * mult;

        //余数大于1，多加一个该轮下的权重
        if(remainder > 1)
        {
            cnt += mult;
        }
        //余数等于1
        else if(remainder == 1)
        {
            cnt += n - currentN * mult + 1;
        }

        
        currentN = currentN / 10;
        mult *= 10;
    }

    return cnt;
}

int main()
{
    cout<<"please enter the number N:"<<endl;
    unsigned int number = 0;
    cin>>number;

    cout<<"the number of 1s From 1 to N is:"<<endl;
    cout<<NumbersOf1sFrom1ToN(number)<<endl;
    
    return 0;
}

　　运行结果如下：

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References:

程序员面试题精选100题：http://zhedahht.blog.163.com/blog/static/25411174200732494452636/

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