【算法01】寻找丑数

　　题目：我们把只包含因子2、3和5的数称作丑数（Ugly Number）。例如6、8都是丑数，但14不是，因为它包含因子7。习惯上我们把1当做是第一个丑数。求按从小到大的顺序的第1500个丑数。

　　分析：寻找一个数是不是满足某种数（质数，水仙数）等，最简单的方法就是遍历，对于任意一个丑数必定可以写成2^m*3^n*5^p，因而对于一个丑数，只含有2，3，5因子，也就意味着该数number%2==0；number%3==0；number%5==0，如果一个数能被2整除，我们就连续除以2；能被3整除，我们就连续除以3；能被5整除，我们就连续除以5；如果最后得到1，则该数是素数，否则是丑数。

　　代码如下：

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;

//判断一个给定的数number是否是丑数
bool IsUgly(int number)
{
    while(number % 2 == 0)
    {
        number /= 2;
    }
    while(number % 3 ==0)
    {
        number /= 3;
    }
    while(number % 5 ==0)
    {
        number /= 5;
    }
    return(number == 1)?true:false;
}

//返回从1开始第index个丑数
int GetUglyNumber(int index)
{
    if(index <= 0)
    {
        return 0;
    }

    int number=0;
    int count=0;
    while(count < index)
    {
        ++number;
        if(IsUgly(number))
        {    
            ++count;
        }
        
    }

    return number;
}

int main()
{
    cout<<"Enter A Number:"<<endl;
    int idx=0;
    cin>>idx;
    cout<<GetUglyNumber(idx)<<endl;
    return 0;
}

　　上面计算中主要的不足在于，逐一遍历，这样对于不是丑数的数的判断会造成大量的时间浪费，如果能够根据已经计算好的丑数，计算出下一个丑数就可以避免这种情况，实现从丑数到丑数的高效算法，根据定义可知，后面的丑数肯定是前面已知丑数乘以2，3，5得到的。

　　我们假设一个数组中已经有若干丑数，并且这些丑数是按顺序排列的，我们把现有的最大丑数记为max，则下一个丑数肯定是前面丑数乘以2，3，5得到的。不妨考虑乘以2得到的情况，我们把数组中的每一个数都乘以2，由于原数组是有序的，因为乘以2后也是有序递增的，这样必然存在一个数M2，它前面的每一个数都是小于等于max，而包括M2在内的后面的数都是大于max的，因为我们还是要保持递增顺序，所以我们取第一个大于max的数M2。同理对于乘以3的情况，可以取第一个大于max的数M3，对于乘以5的情况，可以取第一个大于max的数M5。

　　最终下一个丑数取:min{M2,M3,M5}即可

　　代码如下：

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;

//返回三个数中的最小者
int Min(int number1,int number2,int number3)
{
    int min = (number1 < number2) ? number1 : number2;
    min = (min < number3) ? min : number3;
    return min;
}

//返回第index个丑数
int GetUglyNumber(int index)
{
    if(index <= 0)
    {
        return 0;
    }

    int *pUglyNumbers = new int[index];
    pUglyNumbers[0] = 1;
    int nextUglyIndex = 1;

    int *pMultiply2 = pUglyNumbers;
    int *pMultiply3 = pUglyNumbers;
    int *pMultiply5 = pUglyNumbers;

    while(nextUglyIndex < index)
    {
        int min = Min(*pMultiply2 * 2,*pMultiply3 * 3,*pMultiply5 * 5);
        pUglyNumbers[nextUglyIndex] = min;

        while(*pMultiply2 * 2 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex])
        {
            ++pMultiply2;
        }
        while(*pMultiply3 * 3 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex])
        {
            ++pMultiply3;
        }
        while(*pMultiply5 * 5 <= pUglyNumbers[nextUglyIndex])
        {
            ++pMultiply5;
        }

        ++nextUglyIndex;
    }

    int ugly = pUglyNumbers[nextUglyIndex-1];
    delete[] pUglyNumbers;
    return ugly;

}

int main()
{
    cout<<"Enter A number:"<<endl;
    int number=0;
    cin>>number;
    cout<<GetUglyNumber(number)<<endl;
    return 0;
}

　　第二种方法由于不需要在非丑数的整数花费时间，因而时间复杂度要小很多，在vc6+win7的平台上，index=1500时，方法1的运行时间为40s，方法2的时间是1s；然而方法2需要动态分配内存，占用空间，而方法2则没有这样的内存开销。说白了，第二种方法是用空间换时间。