证明：数论四大定理之欧拉定理与费马小定理

欧拉定理以及费马小定理的证明

前言

• 好久没有刷过数论的题了，感觉之前证明过的一些东西都有些忘记了，正好最近在重新学数论，就顺便记下一些定理及证明。

欧拉定理的证明

先写欧拉定理是因为费马小定理本身就是欧拉定理的一个特例，其证明过程本质上是一致的。

Description :

\[若正整数\:a,n\:互质，则\:a^{\varphi(n)}\equiv 1\:(mod\:n) \]

准备知识：

• 前置小芝士：

  1. 同余的性质：自反性、对称性、传递性、同加性、同乘性、同幂性等。
     • 自反性：\(a\equiv a\:(mod\:m)\)
     • 对称性：若 \(a\equiv b\:(mod\:m)\) ，则 \(b\equiv a\:(mod\:m)\)
     • 传递性：若 \(a\equiv b\:(mod\:m),b\equiv c\:(mod\:m)\) ，则 \(a\equiv c\:(mod\:m)\)
     • 同加性：若 \(a\equiv b\:(mod\:m)\) ，则 \(a+c\equiv b+c\:(mod\:m)\)
     • 同乘性：
       • 若 \(a\equiv b\:(mod\:m)\) ，则 \(a\times c\equiv b\times c\:(mod\:m)\)
       • 若 \(a\equiv b\:(mod\:m),c\equiv d\:(mod\:m)\) ，则 \(a\times c\equiv b\times d\:(mod\:m)\)
     • 同幂性：若 \(a\equiv b\:(mod\:m)\) ，则 \(a^n\equiv b^n\:(mod\:m)\)
  2. 完全剩余系以及简化剩余系的概念

• 引理 \(1\) ：

  • 若 \(a,b,c\) 为任意 \(3\) 个整数，\(m\) 为正整数，且 \(m\) 与 \(c\) 互质，则当 \(a\cdot c\equiv b\cdot c\:(mod\:m)\) 时，有 \(a\equiv b\:(mod\:m)\)
  • 证明：\(a\cdot c\equiv b\cdot c\:(mod\:m)\) 可得 \(ac-bc\equiv 0\:(mod\:m)\) ，即 \((a-b)\cdot c\equiv 0\:(mod\:m)\) 。因为 \(m\) 与 \(c\) 互质，所以 \(c\) 不可能为 \(m\) 的倍数，即 \(a-b\equiv 0\:(mod\:m)\) ，所以 \(a\equiv b\:(mod\:m)\) 。

  证毕。

• 引理 \(2\) ：

  • 若 \(a,b\) 属于 \(m\) 的简化剩余系，那么 \(a\times b\) 仍属于 \(m\) 的简化剩余系（即 \(m\) 的简化剩余系关于模 \(m\) 乘法封闭）。
  • 证明：若 \(a,b\) 与 \(m\) 互质，即 \(a,b\) 不含有与 \(m\) 相同的质因子，那么 \(a\times b\) 也不可能与 \(m\) 含有相同的质因子，即 \(a\times b\) 也与 \(m\) 互质，所以 \(a\times b\) 仍属于 \(m\) 的简化剩余系。

  证毕。

• 引理 \(3\) ：

  • 若 \(n\) 与 \(m\) 互质，且 \(\left\{\overline{a_1},\overline{a_2},\overline{a_3},\cdots,\overline{a_m}\right\}\) 为 \(m\) 的完全剩余系，则 \(\left\{\overline{na_1},\overline{na_2},\overline{na_3},\cdots,\overline{na_m}\right\}\) 也构成 \(m\) 的完全剩余系。
  • 证明：若存在 \(na_i\) 与 \(na_j\) 同余即 \(na_i\equiv na_j\:(mod\:m)\) ，由引理 \(1\) 可得 \(a_i\equiv a_j\:(mod\:m)\) ，与条件不符，故假设不成立。

  证毕。

• 引理 \(4\) ：

  • 若 \(n\) 与 \(m\) 互质，且 \(\left\{\overline{a_1},\overline{a_2},\overline{a_3},\cdots,\overline{a_{\varphi(n)}}\right\}\) 为 \(m\) 的简化剩余系，则 \(\left\{\overline{na_1},\overline{na_2},\overline{na_3},\cdots,\overline{na_{\varphi(n)}}\right\}\) 也构成 \(m\) 的简化剩余系。
  • 证明：由引理 \(2\) 以及引理 \(3\) 易证。

  证毕。

证明：

• 构造 \(n\) 的简化剩余系为

  \[\left\{\overline{a_1},\overline{a_2},\overline{a_3},\cdots,\overline{a_{\varphi(n)}}\right\} \]

• 那么根据引理 \(4\) 得：

  \[a^{\varphi(n)}a_1a_2\cdots a_{\varphi\left(n\right)}\equiv (aa_1)(aa_2)\cdots (aa_{\varphi(n)})\equiv a_1a_2\cdots a_{\varphi(n)}\:(mod\:n) \]

• 根据简化剩余系的定义可知 \(a_1,a_2,a_3,\cdots a_{\varphi(n)}\) 均与 \(n\) 互质，又根据引理 \(1\) 可得 \(a^{\varphi(n)}\equiv1\:(mod\:n)\)

证毕。

欧拉定理的一点点小扩展

\[A^B\equiv A^{B\:mod\:\varphi(n)}\:(mod\:n) \]

• 证明：设 \(B=k\times\varphi(n)+r\)，则 \(r=B\:mod\:\varphi(n)\)，由欧拉定理得 \(A^B\equiv A^{k\times\varphi(n)+r}\equiv A^r\times \left(A^{\varphi(n)}\right)^k\equiv A^r\:(mod\:n)\)

证毕。

费马小定理的证明

回到之前说的一句话，为什么费马小定理实际上就是欧拉定理呢？

Description：

\[若\:p\:是质数，则对于任意满足不是\:p\:的倍数的\:a\:，有\:a^{p-1}\equiv 1\:(mod\:p) \]

准备知识：

• 当 \(p\) 为质数时，\(\varphi(p)=p-1\) ，所以其本质就是欧拉定理。

• 引理 \(5\) ：

  • 若 \(p\) 是质数，则其简化剩余系为其完全剩余系。
  • 证明：根据简化剩余系以及完全剩余系的定义可得。

  证毕。

• 由此可知其证明过程即与欧拉定理十分类似。

证明：

• 构造素数 \(p\) 的完全剩余系为

  \[\left\{1,2,3,\cdots,p-1\right\} \]

• 那么根据引理 \(3\) 得：

  \[\left\{a,2a,3a,\cdots,(p-1)a\right\} \]

  也是 \(p\) 的完全剩余系。

• 则

  \[1\times 2\times 3\times \cdots \times (p-1)\equiv a\cdot 2a\cdot 3a\cdot \cdots \cdot(p-1)a\equiv (p-1)!\cdot a^{p-1}\:(mod\:n) \]

  又因为 \((p-1)!\) 与 \(p\) 互质，所以约去 \((p-1)!\) 得到

  \[a^{p-1}\equiv 1\:(mod\:p) \]

证毕。

后话

• 到此为之欧拉定理以及费马小定理就都已证明。有了引理 \(5\) 的铺垫不难发现费马小定理的证明过程本质上就是欧拉定理的证明过程，至于其中更多的细节，还需要自己去思考、去领悟。
• 顺便扩展一下欧拉函数的几个性质及其证明。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。

2021年1月16日
——pycr