【图论】CF1467E

题目链接：https://codeforces.com/contest/1467/problem/E

观察

对于某种权值 (val) ，若点 (i) 的权值 (a[i]=val) 则把这个点染成黑色，其他的点染成白色。

定义黑色节点的数量，为权值 (val) 的出现次数 (cnt[val]) 。
若以点 (r) 为根节点进行先序遍历，定义从点 (r) 到点 (u) 经过的黑色节点的数量，为权值 (val) 的深度 (dep[val][u]) ，记出现的最大深度为 (mdp[val]) 。

情形A：(cnt[val]=1) ，说明权值 (val) 不影响答案。
情形B：(cnt[val]geq2,mdp[val]=1) ，说明删除所有的黑色节点后，合法的答案必须和根节点 (r) 处在同一连通块中。
情形C：(cnt[val]geq2,mdp[val]=2) ，情况非常复杂。
情形D：(cnt[val]geq2,mdp[val]geq3) ，说明权值 (val) 直接导致答案无解。

算法流程

1. 以点 (1) 为根节点，先序遍历这棵树，记录以下信息：
   每一种权值的出现次数 (cnt[i])
   每一种权值的深度 (dep[i])
   每一种权值的最大深度 (mdp[i])

2. 以点 (1) 为根节点，再次先序遍历这棵树，记录以下信息：
   假如这种权值的出现次数 (cnt[i]=1) ，那么直接忽略这种权值，结束。
   假如这种权值的最大深度 (mdp[i]=1) ，那么给这种权值的所有点都打上 (down) 标记，结束。
   那么这种权值的最大深度 (mdp[i]geq2)，那么给这种权值的所有点都打上 (down) 标记，给这种权值的所有 (dep[i]geq2) 的点的前一个点打上 (dirup) 标记，结束。

3. 记某个点为 (u) ，记点 (u) 的父节点为点 (p) ，则：
   (down[u]) 标记 表示以点 (1) 为整棵树的根节点时，以点 (u) 为根节点的整个连通块都是非法的。
   (dirup[u]) 标记 表示以点 (u) 为整棵树的根节点时，以点 (p) 为根节点的整个连通块都是非法的。
   假如 (dirup[u]=cnt[a[p]]-1) ，则说明以点 (u) 为整棵树的根节点时，权值 (a[p]) 的分布恰好为情形B，所以要清除掉点 (p) 的 (down) 标记。

4. 下推所有 (down) 标记，上推所有的 (dirup) 标记，统计答案。

总结

其中，要计算“带有方向的up标记”的方向，目前没有想到更好的办法，使用的是类似倍增lca的倍增算法计算出方向。总体时间复杂度 (O(nlogn)) 。
一道对我来说非常难的“树”论问题，也通过这一题感觉到自己确实比起9个月前强大了，无论是从代码能力、逻辑分析能力、或者是恒心和耐心都是。