转自：http://www.dxmtb.com/blog/miller-rabbin/
普通的素数测试我们有O(√ n)的试除算法。事实上，我们有O(slog³n)的算法。
定理一：假如p是质数，且(a,p)=1，那么a^(p-1)≡1(mod p)。即假如p是质数，且a,p互质，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。（费马小定理）
该定理的逆命题是不一定成立的，但是令人可喜的是大多数情况是成立的。
于是我们就得到了一个定理的直接应用，对于待验证的数p，我们不断取a∈［1，p-1]且a∈Z，验证a^(p-1) mod p是否等于1，不是则p果断不是素数，共取s次。其中a^(p-1) mod p可以通过把p-1写成二进制，由(ab)mod c=(a mod c)b mod c，可以在t=log(p-1)的时间内计算出解，如考虑整数相乘的复杂度，则一次计算的总复杂度为log³(p-1)。这个方法叫快速幂取模。
为了提高算法的准确性，我们又有一个可以利用的定理。 定理二：对于0<x<p，x^2 mod="" p="1" ==""> x=1或p-1。
我们令p-1=(2^t)*u，即p-1为u二进制表示后面跟t个0。我们先计算出x[0]=a^u mod p ，再平方t次并在每一次模p，每一次的结果记为x[i]，最后也可以计算出a^(p-1) mod p。若发现x[i]=1而x[i-1]不等于1也不等于p-1，则发现p果断不是素数。
可以证明，使用以上两个定理以后，检验s次出错的概率至多为2^(-s)，所以这个算法是很可靠的。
需要注意的是，为了防止溢出（特别大的数据），a*b mod c 也应用类似快速幂取模的方法计算。当然，数据不是很大就可以免了。
1 typedef unsigned long long LL; 2 3 LL modular_multi(LL x,LL y,LL mo) 4 { 5 LL t; 6 x%=mo; 7 for(t=0;y;x=(x<<1)%mo,y>>=1) 8 if (y&1) 9 t=(t+x)%mo; 10 return t; 11 } 12 13 LL modular_exp(LL num,LL t,LL mo) 14 { 15 LL ret=1,temp=num%mo; 16 for(;t;t>>=1,temp=modular_multi(temp,temp,mo)) 17 if (t&1) 18 ret=modular_multi(ret,temp,mo); 19 return ret; 20 } 21 22 bool miller_rabbin(LL n) 23 { 24 if (n==2)return true; 25 if (n<2||!(n&1))return false; 26 int t=0; 27 LL a,x,y,u=n-1; 28 while((u&1)==0) t++,u>>=1; 29 for(int i=0;i<S;i++) 30 { 31 a=rand()%(n-1)+1; 32 x=modular_exp(a,u,n); 33 for(int j=0;j<t;j++) 34 { 35 y=modular_multi(x,x,n); 36 if (y==1&&x;!=1&&x;!=n-1) 37 return false; 38 x=y; 39 } 40 if (x!=1) 41 return false; 42 } 43 return true; 44 }