uoj272. 【清华集训2016】石家庄的工人阶级队伍比较坚强

题意

略。

题解

由于每个人在每轮的决策序列都是一样的，设(c_{x, y})为(y)对(x)产生的贡献，则有

[c_{x, y} = b_{cnt_1(x ominus y), cnt_2(x ominus y)} ]

其中定义(ominus)为三进制不退位减法。
(cnt_1(x))表示(x)的三进制中1的个数，(cnt_2(x))同理。
记

[C_{x} = b_{cnt_1(x), cnt_2(x)} ]

设(f_{t, i})表示进行了(t)轮游戏后第(i)个人的分数。
考虑(j)对(i)产生的贡献，显然有

[f_{t, i} = sum_{j = 0} ^ {3 ^ n - 1} f_{t-1, j} C_{i ominus j} ]

由于(ominus)和(oplus)（三进制不进位加法）是逆运算，有

[hat {f_k} = sum_{i oplus j = k} f_i C_j ]

显然这是一个fwt，但是是三进制的fwt。这就涉及到fwt的本质fwt实际上是高维fft，始终满足卷积定理（这才有了fwt！）。
考虑fft的时候使用的变换矩阵——范德蒙德矩阵

[T_n = egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & ldots & 1 \ 1 & omega_n ^ 1 & omega_n ^ 2 & ldots & omega_n ^ {n - 1} \ 1 & omega_n ^ 2 & omega_n ^ 4 & ldots & omega_n ^ {2(n - 1)} \ ldots & ldots & ldots & ddots & ldots \ 1 & omega_n ^ {n - 1} & omega_n ^ {2(n - 1)} & ldots & omega_n ^ {(n - 1)(n - 1)} \ end{bmatrix} ]

其逆矩阵为

[T_n ^ {-1} = frac{1}{n} egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & ldots & 1 \ 1 & omega_n ^ {-1} & omega_n ^ {-2} & ldots & omega_n ^ {-(n - 1)} \ 1 & omega_n ^ {-2} & omega_n ^ {-4} & ldots & omega_n ^ {-2(n - 1)} \ ldots & ldots & ldots & ddots & ldots \ 1 & omega_n ^ {-(n - 1)} & omega_n ^ {-2(n - 1)} & ldots & omega_n ^ {-(n - 1)(n - 1)} \ end{bmatrix} ]

其中，当(n = 2)时，实际上就是fwt的矩阵：

[T_2 = egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & -1 \ end{bmatrix} ]

而

[T_2 ^ {-1} = frac{1}{2} egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & -1 \ end{bmatrix} ]

同理，现在是(n = 3)，理论上只要使用三次单位根就好了，即(omega ^ 2 + omega + 1 = 0)，得(omega = frac{-1 + sqrt 3 i}{2})。
但是问题是现在要做fwt次数比较多，要在模意义下做，不能有浮点运算（精度可能不够）。
但是这个模数(p)又很奇怪。
通过一些奇奇怪怪的分析和结论，得出(-3)在模(p)意义下有二次剩余（根据题目给出(p)的性质）。
但是求出这个二次剩余要用excipolla，所以考虑直接在扩域({a + bsqrt 3 i})下做。
这是做一次fwt的情况。要转移(T)次怎么办？直接把(fwt(C))的每一个点值分别快速幂（(T)次方）即可。
复杂度(mathcal O((n + T) cdot 3 ^ n))，常数较大。

#pragma GCC optimize(2, "Ofast")
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 13, M = 531441;
int n, m, T, mod, omgs, inv2, inv3, divi, pw3[N], tr[N][N];
inline int power (int a, int b) {
	int ret = 1;
	for ( ; b; b >>= 1, a = 1ll * a * a % mod) {
		if (b & 1) {
			ret = 1ll * ret * a % mod;
		}
	}
	return ret;
}
struct cp {
	int r, i;
	inline cp () {
		r = i = 0;
	}
	inline cp (int a, int b) {
		r = a, i = b;
	}
	inline cp operator * (const cp &o) {
		return cp((1ll * r * o.r + 1ll * i * o.i % mod * omgs) % mod, (1ll * r * o.i + 1ll * i * o.r) % mod);
	}
	inline cp operator + (const cp &o) {
		cp t(r + o.r, i + o.i);
		if (t.r >= mod) {
			t.r -= mod;
		}
		if (t.i >= mod) {
			t.i -= mod;
		}
		return t;
	}
} w, wsq, a[M], b[M];
inline cp power (cp a, int b) {
	cp ret(1, 0);
	for ( ; b; b >>= 1, a = a * a) {
		if (b & 1) {
			ret = ret * a;
		}
	}
	return ret;
}
inline void fwt (cp *a, int sgn) {
	cp wn = (sgn == 1 ? w : wsq), wns = (sgn == 1 ? wsq : w);
	for (int l = 3, m = l / 3; l <= n; m = l, l *= 3) {
		for (int i = 0; i < n; i += l) {
			for (int j = 0; j < m; ++j) {
				cp x = a[i + j], y = a[i + m + j], z = a[i + m + m + j];
				a[i + j] = x + y + z;
				a[i + m + j] = x + y * wn + z * wns;
				a[i + m + m + j] = x + y * wns + z * wn;
			}
		}
	}
}
void tripcnt (int x) {
	int r[3] = {0, 0, 0};
	for (int i = x; i; i /= 3) {
		++r[i % 3];
	}
	b[x].r = tr[r[1]][r[2]];
}
void prep () {
	pw3[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		pw3[i] = pw3[i - 1] * 3;
	}
	omgs = mod - 3;
	inv2 = (mod + 1) >> 1;
	inv3 = (mod % 3 == 1 ? mod - mod / 3 : 1ll * inv2 * (mod - mod / 3) % mod);
	divi = power(inv3, n);
	w = cp(mod - inv2, inv2), wsq = w * w;
}
int main() {
	scanf("%d%d%d", &n, &T, &mod);
	prep(), m = pw3[n];
	for (int i = 0; i < m; ++i) {
		scanf("%d", &a[i].r);
	}
	for (int i = 0; i <= n; ++i) {
		for (int j = 0; i + j <= n; ++j) {
			scanf("%d", &tr[i][j]);
		}
	}
	n = m;
	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		tripcnt(i);
	}
	fwt(a, 1), fwt(b, 1);
	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		a[i] = a[i] * power(b[i], T);
	}
	fwt(a, -1);
	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		printf("%d
", 1ll * a[i].r * divi % mod);
	}
	return 0;
}

upd：
现在想想最后这个处理方法显然不能叫“扩域”，这个东西在模一个非质数意义下，连一个域都不算。。。
这东西顶多只能算一个暂时性的扩充数系？毕竟本题只要求它的加运算和乘运算和交换、结合、分配率，并且有2的逆元，而事实是，对于任意一个满足题目要求的(p)，都满足这几条。
另外的要求也许是要求这个暂时性的数系和(_p)要同构？（反正只能说类似模意义下的二次剩余）