《图解算法》读书笔记(七) 狄克斯特拉算法

章节内容

• 加权图
• 狄克斯特拉算法
• 图中的环，导致狄克斯特拉算法不管用

前言

在之前一个章节中，我们学会了使用广度优先搜索去查找最短路径。但其实在现实问题中，每个路径的长度都是不同的。
所以我们只是找到了一个最少连线的路径。在这一章节，我们将学会使用狄克斯特拉算法去查找加权图的最短路径。

使用狄克斯特拉算法

狄克斯特拉算法包含四个步骤：

1. 找出加权最少的邻居
2. 更新该节点的邻居的路径
3. 重复第二个步骤，直到图中的每个节点都这样做了
4. 计算最终路径

术语

权重：每条边上的关联数字
加权图：带权重的图
非加权图：不带权重的图
狄克斯特拉算法只适用于有向无环加权图

负权边

如果边的权有为负数的，也不适合用狄克斯特拉算法算法；
可使用另一种算法：贝尔曼-福德算法(Bellman-Ford)。
为什么不适合用狄克斯特拉算法？
狄克斯特拉算法是基于之前的节点的最短路径计算之后的节点，如果有负权边，则可能影响之前节点的最短路径，那样所有这个节点后的节点计算都存在问题。

实现

首先我们需要一个散列表存储图的数据，和上一章节不同，我们需要存储邻居的节点，以及到这些节点的开销，所以我们采用二维散列表。
比如：

graph = {}
graph["start"] = {}
graph["start"]["a"] = 6
graph["start"]["b"] = 2

然后我们需要另一个散列表来存储从起点到每个节点的开销。对于还不知道开销的节点的值可以设置为无限大，python中可以表示为：
infinity = float("inf")
创建开销表的代码如下：

infinity = float("inf")
costs = {}
costs["a"] = 6
costs["b"] = 2
costs["fin"] = infinity

还需要一个存储父节点的散列表
创建这个散列表的代码如下：

parents = {}
parents["a"] = "start"
parents["b"] = "start"
parents["fin"] = None

最后需要一个散列表存储处理过的节点。
准备工作做好了，下面来看看算法步骤：

1. 只要还有要处理的节点
2. 获取离起点最近的节点
3. 更新其邻居的开销
4. 如果有邻居的开销被更新了，同时更新其父节点
5. 将该节点标记为处理过
   重复以上五个步骤直至所有节点都已处理，代码如下：

node = find_lowest_cost_node(costs)
while node is not None:
      cost = costs[node]
      neighbors = graph[node]
      for n in neighbors.keys():
            new_cost = cost + neighbors[n]
            if costs[n] > new_cost:
                  costs[n] = new_cost
                  parents[n] = node
      processed.append(node)
      node = find_lowest_cost_node(costs)

def find_lowest_cost_node(costs):
      lowest_cost = float("inf")
      lowest_cost_node = None
      for node in costs:
            cost = costs[node]
            if cost < lowest_cost and not not in processed:
                  lowest_cost = cost
                  lowest_cost_node = node
      return lowest_cost_node

小结

1. 广度优先搜索用于在非加权图中查找最短路径
2. 狄克斯特拉算法用于在加权图中查找最短路径
3. 仅当权重为正时狄克斯特拉算法管用
4. 如果图中包含负权边，请使用Bellman-Ford算法