斐波那契数列和小青蛙跳跳跳问题

递归实现斐波那契：

def fn(n):
    if n==1:
        return 1
    elif n==2:
        return 1
    else:
        return fn(n-1)+fn(n-2)

非递归斐波那契：

def fibo(n):
    a , b = 1,1
    if n <= 2:
        return b
    else:
        for i in range(n-2):
            a,b = b, a+b
    return b

生成器斐波那契：

def fib_loop_while(max):
  a, b = 0, 1
  while max > 0:
    a, b = b, a+b
    max -= 1
    yield a

for i in fib(10):
    print(i, end=' ')

题目：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法？

我们先来分析一下这道题目，假设台阶只有一级，那么显然只有一种跳法；要是有两级台阶，那么就有两种跳法：一种是一次跳一级台阶，一种是一次跳两级台阶；要是有三级台阶，青蛙的第一步就有两种跳法：当青蛙第一步跳了一级台阶，那么就只剩下了两级台阶，将问题转化成为两级台阶的跳法，当青蛙第一步跳了两级台阶，那么就只剩下了一级台阶，就将问题转化为了一级台阶的跳法。n阶台阶与三阶台阶的分析是一样的。

我们把跳n级台阶时的跳法看成是n的函数，记为f(n)。

当n = 1时，f(1) = 1；
当n = 2时，f(2) = 2；
当n = 3时，f(3) = f(2) + f(1)；
当n = 4时，f(4) = f(3) + f(2)；

  ·  ·  ·

当n = n时，f(n) = f(n-2) + f(n-1)

显然这是一个斐波那契数列，可以根据递归来求解。

fib = lambda n: n if n <= 2 else fib(n - 1) + fib(n - 2)
print(fib(4))         # 5

题目：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶……也可以跳n级台阶。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法？
分析一下题目：用Fib(n)表示青蛙跳上n阶台阶的跳法数，这里我们给定Fib(0) = 1。

假设只有一级台阶，显然只有一种跳法Fib(1) = 1；要是有两级台阶，那么就有两种跳法：一种是第一次跳一个台阶，还剩一个台阶，就有Fib(1)种跳法，一种是第一次跳两个台阶，还剩0个台阶，有Fib(0)种跳法；要是有三级台阶，那么就有三种跳的方式：一种是第一次跳一阶台阶，还剩两个台阶，有Fib(2)种跳法，一种是第一次跳两个台阶，还剩一个台阶，有Fib(1)种跳法，还有一种是一次跳三个台阶，后面有0个台阶，有Fib(0)种跳法；当有n级台阶时，就有n种跳法：第一次跳一个台阶，剩余n-1级台阶，有Fib(n-1)种跳法，第一次跳两个台阶，剩余n-2级台阶，有Fib(n-2)种跳法……第一次跳n个台阶，剩余n-n个台阶，有Fib(n-n)种跳法。

当n = 1时，Fib(1) = 1；
当n = 2时，Fib(2) = Fib(1) + Fib(0) = 2；
当n = 3时，Fib(3) = Fib(2) + Fib(1) + Fib(0) = 4；

  ·  ·  ·

当n = n时，
Fib(n) = Fib(n-1) + Fib(n-2) + Fib(n-3) +……+ Fib(n-n) =
Fib(0) + Fib(1) + Fib(2) +……+ Fib(n-1)

又因为Fib(n-1) = Fib(0) + Fib(1) + Fib(2) +……+ Fib(n-2)

可得：Fib(n) - Fib(n-1) = Fib(n-1)

则：Fib(n) = 2 * Fib(n-1)   （n>1）

fib = lambda n: n if n < 2 else 2 * fib(n - 1)
print(fib(4))   # 8