2.x ESL第二章习题2.4

题目

准备

• $x_isim N(0,1)$，有$sum_i^n x_i^2 sim chi^2(n)$
  其中$n$称为自由度，卡方分布的均值即其自由度
• $x_isim N(mu_i,sigma_i^2)$，有$sum_i a_ix_i sim N(sum_i a_imu_i,sum_ia_i^2sigma_i^2)$
  n个正态分布变量的线性和，依然符合正态分布
• 计算向量b投影到向量x上的长度t，$t=|b|cos heta=|b|frac{x^Tb}{|x||b|}=frac{x^T}{|x|}b=a^Tb$
  所以a为单位向量$sum_i a_i^2=1$

题解

$z=a^Tx$，$Var(z_i)=sum_j a_j^2Var(x_j)=sum_j a_j^2=1$
所以$z_isim N(0,1)$

距离的平方$d^2sim chi^2(p)$，所以平均距离为$sqrt p$