• luogu2951 noip2017 小凯的疑惑


    在考场上我们可以打表发现规律是 $ ab-a-b $ 。下面给出证明(看的网上的)。

    若有正数 $ x $ 不能被 $ a $ , $ b $ 组合出,假设 $ a>b $ ,则存在

    [x=ap+bq=a(p-b)+b(q+a) ]

    其中 $ p>0, q<0, p-b<0, q+a>0 $ 。

    为什么呢?如果学过exgcd的话,很容易理解上述形式。$ (p,q) $ 是一组解的话,则 $ (p-b,q+a) $ 是最接近的另一组解。$ p>0 $ 而 $ q<0 $,我们自然想要把 $ p $ 放小一点而把 $ q $ 放大一点。然而,即使是稍微一调整,也无法满足,则 $ x $ 是拼不出的。

    于是 $ 0<p<b $ , $ -a<q<0 $,则 $ x $ 最大当 $ p=b-1 $ 且 $ q=-1 $,此时 $$ x=a(b-1)-b=ab-a-b $$
    证毕。

    #include <iostream>
    #include <cstdio>
    using namespace std;
    long long a, b;
    int main(){
        cin>>a>>b;
        cout<<a*b-a-b;
        return 0;
    }
    
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