方阵的幂次与秩降的关系

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我们知道有$ extrm{rank}(AB)leq extrm{min}{ extrm{rank} (A), extrm{rank} (B)}$$,$ 且若$A$或$B$可逆$,$ 不等号将变成等号$.$
所以对于任意方阵$A$和$k$有$ extrm{rank}(A^{k+1})leq extrm{rank}(A^k).$ 也就是说$ extrm{rank}(A^k)$是$k$的单调减函数.

但是这个函数有没有什麽更深刻的性质呢$?$

$ extbf{引理: }$$ extrm{rank}(ABC)+ extrm{rank} (B) geq  extrm{rank}(AB)+ extrm{rank}(BC).$
$ extbf{证明: }$做初等变换$$left( {egin{array}{*{20}{c}}{ABC}&0\ 0&Bend{array}} ight) o left( {egin{array}{*{20}{c}}{ABC}&{AB}\ 0&Bend{array}} ight) o left( {egin{array}{*{20}{c}}0&{AB}\ { - BC}&Bend{array}} ight) o left({egin{array}{*{20}{c}}{AB}&0\ B&{BC}end{array}} ight). 得证.$$

$ extbf{推论: }$$ extrm{rank}(A^k)- extrm{rank}(A^{k+1})leq extrm{rank}(A^{k-1})- extrm{rank}(A^k).$
$ extbf{证明: }$将引理中的$B$换为$A^{k-1}$$,$ $C$换为$A$即可得证$.$

上述推论说明了$ extrm{rank}(A^k)$随$k$的增大而下降$,$ 且下降值也越来越小$.$

$ extbf{定理1: }$若存在$k$使得$ extrm{rank}(A^k)= extrm{rank}(A^{k+1})$$,$ 则$ extrm{rank}(A^k)= extrm{rank}(A^{k+1})= extrm{rank}(A^{k+2})= extrm{rank}(A^{k+3})=cdotscdots$
$ extbf{证明: }$利用推论以及$ extrm{rank}(A^k)$是$k$的单调减函数$,$ 得知$0leq extrm{rank}(A^{k+1})- extrm{rank}(A^{k+2})leq extrm{rank}(A^k)- extrm{rank}(A^{k+1})=0$$,$ 得证$.$

$ extbf{定理2: }$若$A$是$n$阶方阵$,$ 则$ extrm{rank}(A^n)= extrm{rank}(A^{n+1})= extrm{rank}(A^{n+2})= extrm{rank}(A^{n+3})=cdotscdots$
$ extbf{证明: }$反证法$,$ 若$ extrm{rank}(A^n)> extrm{rank}(A^{n+1})$$,$ 则说明秩降在$n$处没有停止$,$ 说明$ileq n$时有$ extrm{rank}(A^i)geq extrm{rank}(A^{i+1})+1$$,$ 推出$ extrm{rank} (A)geq extrm{rank}(A^{n+1})+n$$.$ 因为$ extrm{rank} (A)> extrm{rank}(A^2)$$,$ 说明$A$不可逆$,$ 所以$ extrm{rank} (A)leq n-1$$.$ 因此得出$ extrm{rank}(A^{n+1})leq -1$$,$ 不可能出现$.$ 所以得证$.$

以上定理说明了$ extrm{rank}(A^k)$是$k$的单调减函数$,$ 且下降值也越来越小$.$

在某处停止以后就会保持不变$,$ 且停止秩降的点一定会在某个$sleq n$处达到$.$

因此$,$ $ extrm{rank}(A^k)$和$k$的关系将会如下图所示$:$