树状数组

树状数组是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构，假设数组a[1..n]，

  

用lowbit函数维护了一个树的结构

那么查询a[1]+...+a[n]的时间是log级别的，而且是一个在线的数据结构，
支持随时修改某个元素的值，复杂度也为log级别。

 

来观察这个图：

 

令这棵树的结点编号为C1，C2...Cn。令每个结点的值为这棵树的值的总和，那么容易发现：

C1 = A1

C2 = A1 + A2

C3 = A3

C4 = A1 + A2 + A3 + A4

C5 = A5

C6 = A5 + A6

C7 = A7

C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8

C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16

这里有一个有趣的性质：

设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数）个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax，

所以很明显：Cn = A(n – 2^k + 1) + ... + An

算这个2^k有一个快捷的办法，定义一个函数如下即可：

int lowbit(int x){

　　return x&(x^(x–1));

 

}

　　当想要查询一个SUM(n)(求a[n]的和），可以依据如下算法即可：

　　step1:　令sum = 0，转第二步；

　　step2:　假如n <= 0，算法结束，返回sum值，否则sum = sum + Cn，转第三步；

　　step3: 令n = n – lowbit(n)，转第二步。

　　可以看出，这个算法就是将这一个个区间的和全部加起来，为什么是效率是log(n)的呢？以下给出证明：

　　n = n – lowbit(n)这一步实际上等价于将n的二进制的最后一个1减去。而n的二进制里最多有log(n)个1，所以查询效率是log(n)的。

　　那么修改呢，修改一个节点，必须修改其所有祖先，最坏情况下为修改第一个元素，最多有log(n)的祖先。

　　所以修改算法如下（给某个结点i加上x）：

　　step1: 当i > n时，算法结束，否则转第二步；

　　step2: Ci = Ci + x， i = i + lowbit(i)转第一步。

　　i = i +lowbit(i)这个过程实际上也只是一个把末尾1补为0的过程。

 

 树状数组水题：

HDOJ 1166 敌兵布阵 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1166 
 

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 #define lowbit(x) x&(-x)
 5 const int N=1000005;
 6 int a[N],n;
 7 using namespace std;
 8 void add(int x,int y)
 9 {
10     for(;x<=n;x+=lowbit(x))
11         a[x]+=y;
12 }
13 int sum(int x)
14 {
15     int sum=0;
16     for(;x>0;x-=lowbit(x))
17         sum+=a[x];
18     return sum;
19 }
20 int main()
21 {
22     int t,i,x,y,k=0;;
23     char s[101];
24     scanf("%d",&t);
25     while(t--)
26     {
27         k++;
28         memset(a,0,sizeof(a));
29         scanf("%d",&n);
30         for(i=1;i<=n;i++)
31         {
32             scanf("%d",&x);
33             add(i,x);
34         }
35         printf("Case %d:\n",k);
36         while(~scanf("%s",s))
37         {
38             if(s[0]=='E')
39                 break;
40             scanf("%d%d",&x,&y);
41             if(s[0]=='A')
42                 add(x,y);
43             else if(s[0]=='Q')
44                 printf("%d\n",sum(y)-sum(x-1));
45             else if(s[0]=='S')
46                 add(x,~y+1);
47         }
48     }
49     return 0;
50

HDOJ 1556 Color the ball http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1556 
 

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 #define lowbit(x) x&(-x)
 5 const int N=1000005;
 6 int a[N],n;
 7 using namespace std;
 8 void add(int x,int y)
 9 {
10     for(;x<=n;x+=lowbit(x))
11         a[x]+=y;
12 }
13 int sum(int x)
14 {
15     int sum=0;
16     for(;x>0;x-=lowbit(x))
17         sum+=a[x];
18     return sum;
19 }
20 int main()
21 {
22     int t,i,x,y,k=0;;
23     char s[101];
24     while(~scanf("%d",&n))
25     {
26         if(!n)
27             break;
28         memset(a,0,sizeof(a));
29         for(i=1;i<=n;i++)
30         {
31             scanf("%d%d",&x,&y);
32             add(x,1);
33             add(y+1,-1);
34         }
35         for(i=1;i<n;i++)
36             printf("%d ",sum(i));
37         printf("%d\n",sum(n));
38     }
39     return 0;
40