vijos1009：扩展欧几里得算法

1009：数论 扩展欧几里得算法

其实自己对扩展欧几里得算法一直很不熟悉...应该是因为之前不太理解的缘故吧
这次再次思考，回看了某位大神的推导以及某位大神的模板应该算是有所领悟了

首先根据题意：
L1=x+mt; L2=y+nt;

可知当两人相遇： L1-L2=k*l;

即 :(m-n)t-(y-x)=kL

根据整除取余的方法：[ a/b=c...d --> a-d=c*b;]

可得到：(m-n)t mod l=y-x;

得到线性同余方程

此方程有解当且仅当 y-x 能被 m-n 和l的最大公约数整除

接下来

就要用到欧几里得算法的扩展应用中的三条定理：

定理一：如果d = gcd(a, b)，则必能找到正的或负的整数k和l，使d = a*x+ b*y。
 
定理二：若gcd(a, b) = 1，则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b-1]上有唯一解。（恒等于）
 
定理三：若gcd(a, b) = d，则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b/d - 1]上有唯一解。

求a * x + b * y = n的整数解。
　 1、先计算Gcd(a,b)，若n不能被Gcd(a,b)整除，则方程无整数解；否则，在方程两边同时除以Gcd(a,b)，得到新的不定方程a' * x + b' * y = n'，此时Gcd(a',b')=1;
   2、利用上面所说的欧几里德算法求出方程a' * x + b' * y = 1的一组整数解x0,y0，则n' * x0,n' * y0是方程a' * x + b' * y = n'的一组整数解；
　　3、根据数论中的相关定理，可得方程a' * x + b' * y = n'的所有整数解为：
         x = n' * x0 + b' * t
         y = n' * y0 - a' * t

代码：

# include <stdio.h>
#include<cmath>
using namespace std;
__int64 gcd(__int64 a,__int64 b)
{
         if(b==0)
                return a;
         return gcd(b,a%b);
}
void exgcd(__int64 a,__int64 b,__int64 &m,__int64 &n)
{
         if(b==0)
         {
                m=1;
                n=0;
                return ;
         }
         exgcd(b,a%b,m,n);
         __int64 t;
         t=m;
         m=n;
         n=t-a/b*n;
}
int main()
{
         __int64 x,y,m,n,l,a,b,c,k1,k2,r,t;
         while(scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&x,&y,&m,&n,&l)!=EOF)
         {
                a=abs(n-m);
                b=l;
                c=x-y;
                r=gcd(a,b);
                if(c%r)
                {
                       printf("Impossible
");
                       continue;
                }
                a/=r;
                b/=r;
                c/=r;
                exgcd(a,b,k1,k2);
                t=c*k1/b;//mark
                k1=c*k1-t*b;//
                if(k1<0)
                       k1+=b;
                printf("%I64d
",k1);
         }
         return 0;
}

　　

　　

最后，这里需要注意一个地方：

就是k1的取值问题...

此时方程的所有解为：x=c*k1-b*t,x的最小的可能值是0，令x=0可求出当x最小时的t的取值，但由于x=0是可能的最小取值，那么由计算机的取整除法可知：由 t=c*k1/b算出的t，代回x=c*k1-b*t中，求出的x可能会小于0，当x小于0时，加上b，也就是距离；如果代回后x仍是大于等于0的，那么不需要再做修正。