第一型曲面积分
直径
直径趋于零则面积一定趋于零
但面积趋于零，有可能出现长条的情况，不满足密度近似均匀和形体近似平面
定义
分（割极细，以至于密度和形体在面元内部均）匀（，随后求）和（，在这种切分下整体呈现出稳定的极限值）
性质（略）
线性性质，分片光滑的可累加性
（重要）奇偶性
计算
完全可以认为是第一类曲线积分的形式上的直接拓展。
[limlimits_{lambda o0}sum_{i=1}^{n}f(x,y,z)Delta S_i\=limlimits_{lambda o0}sum_{i=1}^nf(x,y,g(x,y))sqrt{1+g_x^2(x_i,y_i)+g_y^2(x_i,y^i)}\,mathrm dsigma\
=iintlimits_Df(x,y,g(x,y))sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\,mathrm dsigma
]
最后一项是一个二重积分。
不难看出线面积分之间的关系。我们只是将一次一元积分转化成(二元的)二重积分
另外可以利用参数方程进行计算。（利用Jacob式可得公式）
作变量代换：
[mathrm dS=frac{mathrm dsigma}{|cosgamma|}=frac{sqrt{A^2+B^2+C^2}}{|C|}mathrm dsigma=sqrt{EG-F^2}\,mathrm du\,mathrm dv
]
其中(A,B,C)是(overrightarrow{i},overrightarrow{j},overrightarrow{k})的系数，分别为(frac{D(y,z)}{D(u,v)},frac{D(x,z)}{D(u,v)},frac{D(x,y)}{D(u,v)})
为什么会出现这样的几个Jacob式呢？我们可以拿(overrightarrow{i})为例，垂直于(x)轴的变化是在平行于(yOz)的某个面中，我们只有(y,z)两个变量，对它们进行变换，利用叉积(mathrm dx\,mathrm dy=|(x_1-x_0)(y_3-y_0)-(x_3-x_0)(y_1-y_0)|approx|frac{partial x}{partial xi}frac{partial y}{partialeta}-frac{partial x}{partialeta}frac{partial y}{partialxi}|=|J_3|\,mathrm dximathrm deta)，类似可得其他两个Jacob式。
方向余弦是在这个2to3映射空间中定义的，每个维度上都有一定的转化尺度，用Jacob式衡量。方向余弦的大小不仅有几何意义，还可以反映某个转化尺度的大小。
某个几何面上的微元除以方向余弦，就可以表示成这个几何面和S曲面的关系，我们还可以进一步利用这个几何面和映射虚面上微元(mathrm du\,mathrm dv)的关系，可知这个大根式即可转化为虚面上的。
简要总结：S，xOz，xOy，yOz都是几何面。我们需要利用Jacob式衡量的，都与换元的转换尺度有关。
第二型曲面积分
双侧曲面
返回起始点时法向量指向始终不变
性质
- 有向性（重要）所以慎用奇偶性
- 线性性质
- 分片曲面同向可加性
计算（重要）
转化成仅有常数+几何意义可解的问题是少见但有效的。
通常用坐标法求解。代入转化为二重积分。
一般转化方法：(iintlimits_Sigma R(x,y,z)\,mathrm dx\,mathrm dy=iintlimits_DR[x,y,z(x,y)]\,mathrm dx\,mathrm dy)
公式总结如下
[iintlimits_Soverrightarrow{F}cdotoverrightarrow{n}\,mathrm dS\
iintlimits_DP\,mathrm dy\,mathrm dz+Q\,mathrm dz\,mathrm dx+R\,mathrm dx\,mathrm dy\
pmiintlimits_DP(-f_x)+Q(-f_y)+R\,mathrm dsigma...(\,mathrm dx\,mathrm dy)
\ pmiintlimits_Doverrightarrow{F}(u,v)frac{r_u imes r_v}{|r_u imes r_v|}sqrt{EG-F^2}\,mathrm du\,mathrm dv
]
其中(left|r_u imes r_v
ight|=sqrt{EG-F^2})
这里的(r_u,r_v)，(r)是一个二维((u,v))映射到((x,y,z))的三维曲面的两个偏导数。分别都是一个切向量。他们的叉乘方向与法向量相同。单位化之后即得(overrightarrow{n})
总结：两型面和重积分的关系
[iintlimits_Sigma R(x,y,z)\,mathrm dx\,mathrm dy=iintlimits_{D_{xy}}R[x,y,z(x,y)]\,mathrm dx\,mathrm dy
]
从而二型曲面积分可以有如下的转化：
[iintlimits_Sigmaoverrightarrow{F}cdotmathrm doverrightarrow{S}=iintlimits_Sigma overrightarrow{F}cdotoverrightarrow{n}\,mathrm dS\=iintlimits_Sigma(Pcosalpha+Qcoseta+Rcosgamma)\,mathrm dS\=iintlimits_D P\,mathrm dy\,mathrm dz+Q\,mathrm dz\,mathrm dx+R\,mathrm dx\,mathrm dy
]
二型曲面积分可以通过投影的方式转化成三个一型面相加。
经过方向余弦代入，我们的结论也可以写成：
[iintlimits_Sigma(Pcosalpha+Qcoseta+Rcosgamma)\
=iintlimits_Dleft(P(-f_x)+Q(-f_y)+R\,
ight)mathrm dx\,mathrm dy
]
这个统一区域的形式，看起来会好用很多！
几何意义其实不用考虑过多，在某些程度上说，这是一个由于偏导数连续引起的代数结果。几何意义可可以理解成是法向量的朝向的转换。
这样我们就建立了一二型面之间的关系
Gauss公式和Stokes公式
Gauss公式
建立二型面和三重积分的关系
物理意义：散度（由于法向量朝外从而对应-Q）
<整个曲面的散度之和叫做通量，对比Gauss定理的一般形式和积分形式>
各种“散度”
N-L公式(0D-1D)
[int_a^bf(x)\,mathrm dx=F(x)Big|_a^b
]
平面场散度(1D-2D)
[ointlimits_{L^+}overrightarrow{F}cdotoverrightarrow{n}\,mathrm dell=iintlimits_Dleft(frac{partial P}{partial x}+frac{partial Q}{partial y}
ight)\,mathrm dx\,mathrm dy
]
Gauss公式(2D-3D)(这里不支持二重闭面积分)
[iintlimits_{S^+}(P,Q,R)cdotoverrightarrow{n}\,mathrm dS=iiintlimits_Omegaleft(frac{partial P}{partial x}+frac{partial Q}{partial y}+frac{partial R}{partial z}
ight)\,mathrm dV
]
其实Green公式和Stokes公式也可以有类似的观点。
Stokes公式
是Green公式的高维形式。
[ointlimits_{L^+}P\,mathrm dx+Q\,mathrm dy+R\,mathrm dz=iintlimits_{S^+}left(frac{partial R}{partial y}-frac{partial Q}{partial z}
ight)\,mathrm dy\,mathrm dz+left(frac{partial P}{partial z}-frac{partial R}{partial x}
ight)\,mathrm dz\,mathrm dx+left(frac{partial Q}{partial x}-frac{partial P}{partial y}
ight)\,mathrm dx\,mathrm dy
]
轮换，借助三阶行列式记忆。证明见北大P116，D124
外微分与统一
一阶外微分
从普通的微分和全微分——到
外微分-恰当微分
统一公式（重要）
[int_{partial Omega}omega=int_Omega\,mathrm domega
]
外微分的计算（掌握即可）
[mathrm d omega(overrightarrow{x_i})=sum_{i=1}^nsum_{j=1}^nfrac{partial f_i}{partial x_j}x_i
]
切线法平面、切平面法线
切线是弦线的极限。
[left(frac{x(t_0+Delta x)-x(t_0)}{Delta x},frac{y(t_0+Delta y)-y(t_0)}{Delta y}, frac{z(t_0+Delta z)-z(t_0)}{Delta z}
ight)=(x',y',z')xlongequal{同乘dt}(mathrm dx,mathrm dy,mathrm dz)
]
切线方程利用点向式表示。
随后，法平面可以利用点法式写出（切线是这个平面的法线）
对原函数(F(x, y,z))全微分，可以得到((F_x,F_y,F_z)cdot(mathrm dx,mathrm dy,mathrm dz)=0)，第二个向量是任意切向量。从而可以得到平面的法向量为((F'_x, F'_y, F'_z))。
然后利用点法式方程可以写出切平面(F'_x(x-x_0)+F'_y(y-y_0)+F'_z(z-z_0))
常见易错点总结
上下限
参数方程
对于过原点的圆，是((-frac{pi}{2}, frac{pi}{2}))
对于双扭线是((-frac{pi}{4},frac{pi}{4}))
对于包含原点的封闭图形是((0, 2pi))
重积分
要注意几重之间的制约关系