洛谷 P1631 序列合并

Description

有两个长度都是 \(N\) 的序列 \(A\) 和 \(B\)，在 \(A\) 和 \(B\) 中各取一个数相加可以得到 \(N^2\) 个和，求这 \(N^2\) 个和中最小的 \(N\) 个。

Constraints

对于 \(50\%\) 的数据中，满足\(1 \le N \le 1000\)；

对于 \(100\%\) 的数据中，满足\(1 \le N \le 100000\)。

Solution

Solution 0 \(70pts\)

算出所有数后全部暴力丢到堆里，取出前 \(n\) 个数。

时间复杂度\(O(n^2logn)\)。

Solution 1 \(100pts\)

由于 \(a\)、\(b\) 数组已均有序，首先可以观察出一个性质

• \(a[1]+b[1] \le a[1] + b[2] \le ... \le a[1] + b[n]\)

• \(a[2]+b[1] \le a[2] + b[2] \le ... \le a[2] + b[n]\)

• ......

• \(a[n]+b[1] \le a[n] + b[2] \le ... \le a[n] + b[n]\)

可以把这 \(n ^ 2\) 个数按 \(a[i]\) 分为 \(n\) 组，每一组都是以 \(a[i] +b[1]\) \(a[i]+b[2]\) \(...\) \(a[i]+b[n]\) 的顺序，则在这些组中取出 \(n\) 个最小的数即为答案

考虑堆，先把每组的第一个数丢进堆里，并将 \(n\) 组指针均指向 \(1\)

后取出堆中最小元素，并记下该元素的组的编号，将这组指针向后移一个位置，将这组下一个元素丢到堆里面去

进行 \(n\) 次，把每次取出的数按照顺序输出即可。

由于每一组都是满足以上的性质，所以每组前面的数肯定比后一个小，而 \(n\) 组也能覆盖到所有的数，所以一定是正确的。

我们不需要先把每一组的数先算好，可以边移边算，所以时间复杂度仍为 \(O(nlogn)\)。

Solution 1 code：

// by youyou2007 in 2022.
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#define REP(i, x, y) for(int i = x; i < y; i++)
#define rep(i, x, y) for(int i = x; i <= y; i++)
#define PER(i, x, y) for(int i = x; i > y; i--)
#define per(i, x, y) for(int i = x; i >= y; i--)
#define lc (k << 1)
#define rc (k << 1 | 1)
using namespace std;
const int N = 1E5 + 5;
int n, a[N], b[N], p[N]; 
struct node
{
	int id, x;//注意要记录下每个数属于哪一个组
	friend bool operator > (node xx, node yy)//结构体堆需要重载运算符
	{
		return xx.x > yy.x;
	}
};

priority_queue <node, vector<node>, greater<node> > que;//取最小的数，小根堆
vector <int> ans;
int main()
{
	scanf("%d", &n);
	rep(i, 1, n)
	{
		scanf("%d", &a[i]);
		p[i] = 1;
	}
	rep(i, 1, n)
	{
		scanf("%d", &b[i]);
	}
	rep(i, 1, n)
	{
		node temp = {0, 0};
		temp.id = i;
		temp.x = a[i] + b[1];
		que.push(temp);//把每组第一个元素丢进队列
	}
	while(ans.size() != n)//进行 $n$ 次
	{
		node temp = que.top();
		ans.push_back(temp.x);//取出最小数
		que.pop();
		p[temp.id]++;//指针后移
		temp.id = temp.id;
		temp.x = a[temp.id] + b[p[temp.id]];
		que.push(temp);//放入下一个元素
	}
	for(int i = 0; i < ans.size(); i++)
	{
		printf("%d ", ans[i]);
	}
	return 0;
}