Trailing Zeroes

题目：

Trailing Zeroes 

You task is to find minimal natural number N, so that N! contains exactly Q zeroes on the trail in decimal notation. As you know N! = 1*2*...*N. For example, 5! = 120, 120 contains one zero on the trail.

Input

Input starts with an integer T (≤ 10000), denoting the number of test cases.

Each case contains an integer Q (1 ≤ Q ≤ 10⁸) in a line.

Output

For each case, print the case number and N. If no solution is found then print 'impossible'.

Sample Input

3

1

2

5

Sample Output

Case 1: 5

Case 2: 10

Case 3: impossible

题解：

解法一：

这是一个二分经典题，主要思路为定义一个求n！后面0的数量的函数，然后二分。为什么要二分呢，因为你用朴素算法方法求的话，每次都要循环1e8次，肯定会TL，用二分查找可以快很多。

（二分搜索，在有序序列查找值上非常方便。通过一次比较，可以把解的范围缩小一半。反复与区间的重点进行比较，就可以不断把解的范围缩小到原来的一半，最终在O(logn)次的比较之内求得最终的解。）

求n！后面0的数量请参考我的CSDN博客中的一篇文章：https://blog.csdn.net/qq_45328552/article/details/98206579

我会在代码里分析一下二分。

#include <iostream>

using namespace std;

typedef long long ll;

int search(ll n)
{
    int sum = 0;
    
    while(n)
    {
        sum += n/5;
        n /= 5;
    }
    
    return sum;
}

int main()
{
//    freopen("input.txt","r",stdin);    //注释！注释！！！ 
    
    int t, n;
    
    cin >> t;
    
    for(int i = 1; i <= t; i ++ )
    {
        cin >> n;
        
        ll head = 0, tail = 5e8 + 5, mid; 
        //定义二分的头和尾及mid，注意定义成long long类型，因为二分一般都是求非常大的数 
        while(head <= tail) //二分循环需要满足的条件，头小于尾 
        {
            mid = (head + tail) / 2;  
            
            if(search(mid) < n) head = mid + 1; //search(mid)小于n，则所求值必在右边，mid以及mid左边的数都不满足，因此让头等于mid+1 
            else if(search(mid) > n) tail = mid - 1; //search(mid)大于n，所求值必在左边，mid及mid右边的数都不满足，因此让尾等于mid-1 
            else break; //等于则跳出循环，因为已经确定了要找的值 
        }
        
        if(head > tail) printf("Case %d: impossible
", i); //head > tail找到不满足条件还找不到，说明已经完全二分还找不到符合条件的数，输出false 
        else printf("Case %d: %d
", i, mid - mid % 5);    //根据上面的代码可以知道这是search(mid)=n符合条件的值，输出即可 
    }    //输出mid-mid%5的原因是阶乘后面0的数量相同的数会有重复的而这里要求满足条件的最小值6、7、8和5的阶乘后面0的数量是相同的，6、7、8减去6、7、8 % 5后就变成满足条件的最小值了                        
    return 0;
}

 解法二：

我同学用了打表的方法做出了这道题，也是很强了。打表的时候看着数据4、5一组很慢、很慢地通过，最后成功AC，真的很爽。

打表注意事项：1、明白阶乘为0的数量的最小数为5的倍数，从而以5为倍数进行循环。

2、提前打好表，使用标记数组的思维去打表。不要在循环体内一次一次地去打表，肯定TL；

#pragma GCC optimize(2)
#include <bits/stdc++.h> 
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=1e8+10;

int f[N];

int search(int n)
{
    int num = 0;
    while(n)
    {
        num+=n/5;
        n/=5;
    }
    return num;
 } 

int main()
{
//    freopen("input.txt", "r", stdin);
    //提交时注释，调试时取消注释！！！ 
    int t;
    cin >> t;
    for(int i=5;i<1e8+10;i+=5)
    {
        f[search(i)]=i;
    }
    int tmp;
    for(int i=0;i<t;i++)
    {
        scanf("%d",&tmp);
        if(f[tmp]!=0) printf("%d
",f[tmp]);
        else printf("impossible
");
    }        
    return 0;
}

皓齿蛾眉，命曰伐性之斧。 --《吕氏春秋 》