一、异或运算符
在数字逻辑中，逻辑算符异或（ exclusiveor）是对两个运算元的一种逻辑分析类型，符号为 XOR 或 ⊕（编程语言中常用 ^）。但与一般的逻辑或不同，异或算符的值为真仅当两个运算元中恰有一个的值为真，而另外一个的值为非真。
1.1 异或运算的表示形式
| 名称 | 符号 |
|---|---|
| 数学符号 | ⊕ |
| 英文简称 | xor |
| 程序符号 | ^ |
1.2 异或运算的真值表
异或运算 p ⊕ q 的真值表如下：
| p | q | ⊕ |
|---|---|---|
| T | T | F |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
无论怎样改变同一行中 p，q 的位置，真值表都是成立的。
1.3 异或运算规则
由上述的真值表，我们可以总结出以下异或运算的运算规则：
1 ⊕ 1 = 0
1 ⊕ 0 = 1
0 ⊕ 1 = 1
0 ⊕ 0 = 0
下面我们以 8 ^ 6 为例，来实际体验一下异或运算。
8 ^ 6 = 14
0000 1000
^ 0000 0110
------------
0000 1110
二、异或运算符性质
| 名称 | 值 | 二进制表达式(8位) |
|---|---|---|
| p | 15 | 0000 1111 |
| q | 8 | 0000 1000 |
| r | 6 | 0000 0110 |
2.1 交换律：p ⊕ q = q ⊕ p
p ⊕ q
0000 1111 //p=15
⊕ 0000 1000 //q=8
------------
0000 0111
q ⊕ p
0000 1000 // q=8
⊕ 0000 1111 // p=15
------------
0000 0111
2.2 结合律：p ⊕ (q ⊕ r) = (p ⊕ q) ⊕ r
p ⊕ (q ⊕ r)
0000 1000 //q=8
⊕ 0000 0110 //r=6
------------
0000 1110 //(q ⊕ r)的结果
⊕ 0000 1111 //p=15
------------
0000 0001 // p ⊕ (q ⊕ r)的结果
(p ⊕ q) ⊕ r
0000 1111 //p=15
⊕ 0000 1000 //q=8
------------
0000 0111 //(p ⊕ q)的结果
⊕ 0000 0110 //r=6
------------
0000 0001 // (p ⊕ q) ⊕ r的结果
2.3 恒等律：p ⊕ 0 = p
一个数与 0 进行异或运算等于它本身
0000 1111 //p=15
⊕ 0000 0000
------------
0000 1111
2.4 归零律：p ⊕ p = 0
一个数与它本身进行异或运算等于 0
0000 1111 //p=15
⊕ 0000 1111 //p=15
------------
0000 0000
基于该特性，可以通过 a⊕b==0 来判断两个整数的值是否相等。
2.5 自反：p ⊕ q ⊕ q = p ⊕ 0 = p
p ⊕ q ⊕ q
0000 1111 //p=15
⊕ 0000 1000 //q=8
------------
0000 0111 //p ⊕ q的结果
⊕ 0000 1000 //q=8
------------
0000 1111 // p ⊕ q ⊕ q的结果
三、异或运算符应用
3.1 使某些特定的位翻转
给定整数 a，要求翻转 a 对应二进制表达式中的特定位。假设整数 a 的值为 10，其对应二进制表达式为 00001010（以 8 位为例），我们要求对第 3 位和第 4 位进行翻转，要实现这个需求，可以将 a 与 b（12） 进行按位异或运算。
0000 1010 //a=10
⊕ 0000 1100 //b=12
------------
0000 0110 //a ⊕ b的结果
通过观察以上结果，我们可以发现第 3 位（0 -> 1）和第 4 位（1 -> 0）都完成了翻转。
3.2 不用额外变量交换两个整数的值
给定整数 a 和 b，不用额外变量交换两个整数的值。针对该问题，可以用以下三行代码来交换 a 和 b 的值（a0 与 b0 表示原始值）：
a = a ^ b; // ① a = a0 ^ b0，b = b0
b = a ^ b; // ② a = a0 ^ b0，b = a0 ^ b0 ^ b0 = a0
a = a ^ b; // ③ a = a0 ^ b0 ^ a0 = b0，b = a0
下面我们来分析一下上述代码的执行过程：
执行完第一行代码之后，a 的值变成 a0 ^ b0 的值，记为 c，而 b 的值保持不变；
执行完第二行代码之后，a 的值不变仍为 c，而 b 的值为 c ^ b 即 a0 ^ b0 ^ b0 的运算结果，利用前面提到异或运算的特性可以得出
b=a0^(b0^b0)=a0^0=a0，即 b = a0；执行完第三行代码之后，a 的值为 a0 ^ b0 ^ a0 的运算结果，同样利用异或运算的特性可以得出
a=b0^(a0^a0)=b0^0，即 a = b0。
JavaScript Code：
function swap(a, b) {
a = a ^ b;
b = a ^ b;
a = a ^ b;
}
3.3 只出现一次的数字
给定一个非空整数数组，除了某个元素只出现一次以外，其余每个元素均出现两次。找出那个只出现了一次的元素。异或运算符满足交换律和结合律，所以假设有一个非空整数数组为： [A C B C B A D]，把每一项进行异或运算：
A ^ C ^ B ^ C ^ B ^ A ^ D
= A ^ A ^ B ^ B ^ C ^ C ^ D
= 0 ^ 0 ^ 0 ^ D
= 0 ^ D
= D
JavaScript Code：
function singleNumber(nums) {
let ans = 0;
for(const num of nums) {
ans ^= num;
}
return ans;
}
3.4 确定将整数 A 转换为整数 B 所需翻转的位数
给定两个整数 A 和 B，请计算把整数 A 转换为整数 B 所需翻转的位数。下面我们来举例说明一下：
| 名称 | 十进制 | 二进制 |
|---|---|---|
| A | 15 | 0000 1111 |
| B | 10 | 0000 1010 |
通过观察上述表格，要把整数 A（15）转换成整数 B（10），需要翻转的位数为 2。这里我们再来回顾一下异或的运算规则：
1 ⊕ 1 = 0
1 ⊕ 0 = 1
0 ⊕ 1 = 1
0 ⊕ 0 = 0
然后我们对整数 A 和整数 B 执行异或运算：
0000 1111
⊕ 0000 1010
------------
0000 0101
这时我们可以知道，如果整数 A 和整数 B 对应位的值不一致的话，当前位的异或结果就为 1，在转换过程中就需要进行翻转。而要计算整数 A 转换为整数 B 所需翻转的位数，就可以转换为计算 A ⊕ B 运算结果二进制数中 1 的个数。
JavaScript Code：
function bitflip(a, b){
let count = 0;
let c = a ^ b;
while(c != 0){
c = c & (c - 1);
count++;
}
return count;
}
3.5 判断一个二进制数中 1 的数量是奇数还是偶数
给定一个二进制数如 01101100，求该二进制数中 1 的数量是奇数还是偶数。利用异或运算 p ⊕ 0 = p 恒等律的特性，上述问题可以这样解答： 0^1^1^0^1^1^0^0=0。若二进制数中每 1 位执行异或运算的结果为 1，则 1 的数量是奇数，而结果为 0，则 1 的数量是偶数。
该功能的实际应用场景是奇偶校验，比如在串口通信中，每个字节的数据都计算一个校验位，数据和校验位一起发送出去，这样接收方可以根据校验位判断接收到的数据是否有误。
3.6 比特序列加密
现代的密码都是建立在计算机的基础上，这是因为现代的密码所处理的数据量非常大，而且密码算法也非常复杂，不借助计算机的力量就无法完成加密和解密的操作。
计算机的操作对象并不是文字，而是由 0 和 1 排列而成的比特序列。无论是文字、图片、声音、视频还是程序，在计算机中都是用比特序列来表示的。执行加密操作的程序，就是将表示明文的比特序列转换为表示密文的比特序列。
这里我们来看一个比特序列异或运算的示例：
0 1 0 0 1 1 0 0 // A
⊕ 1 0 1 0 1 0 1 0 // B
--------------------
1 1 1 0 0 1 1 0 //（A ⊕ B）的结果
⊕ 1 0 1 0 1 0 1 0 // B
--------------------
0 1 0 0 1 1 0 0 // A
可能你已经发现了，上面的计算过程和加密、解密的步骤非常相似。
将明文 A 用密钥 B 进行加密，得到密文 A ⊕ B
将密文 A ⊕ B 的结果异或密钥 B 进行解密，得到明文 A
实际上，只要选择一个合适的 B，仅仅使用 XOR 就可以实现一个高强度的密码。
四、参考资源
维基百科 - 逻辑异或
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