E. Modular Stability 解析(思維、數論、組合)

Codeforce 1359 E. Modular Stability 解析(思維、數論、組合)

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題目
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前言

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想法

首先我們觀察(k=2)的情況，因為總感覺只要兩個數字的情況明瞭了，應該不難推廣到(k)個數字的情況。
W.L.O.G. 假設(1le a_1<a_2le n)，那麼我們會有以下的式子：(forall xinmathbb{N}_{ge0}, (x\%a_1)\%a_2=x\%a_1 extbf{=}(x\%a_2)\%a_1)，也就是說(x=ucdot a_1+(x\%a_1)=ycdot a_2+rcdot a_1+(x\%a_1))((u,y,r)是一些數字)。
我們猜想(a_1|a_2)，要證明這件事，首先假設(a_1 ot|a_2)。並且由於(x)是任意非負整數，我們可以取(x)使得(x\%a_1=0)，也就是說(x=ucdot a_1=ycdot a_2+rcdot a_1)，並且(rcdot a_1<a_2)。然而由於(x)是任意的非負整數，(u)也就是任意的非負整數，所以說我們可以取(u)使得(ucdot a_1=ycdot a_2+rcdot a_1)並且((u+1)cdot a_1=(y+1)cdot a_2+r'cdot a_1)，兩式相減得到((1-(r-r'))a_1=a_2)，然而(r,r'inmathbb{N})，因此和假設相矛盾，定理得證，(a_1|a_2)。
那麼接下來證明，假設(a_1)是裡面最小的數字，(a_1|a_iforall iiff符合條件)。
((Rightarrow):)由於對於任何的取模排列，我們總是可以先對(a_1)取模(用到上面證明的(k=2)的情況)，因此得證。
((Leftarrow):)假設(a_1 ot|a_j)對於某個(j)，那麼(x\%a_1\%a_j\%... eq x\%a_j\%a_1\%...)對於某個(x)。

因此我們只要先決定了(a_1)，接下來的數字都會是(a_1)的倍數，用組合數計算可能性即可。

程式碼:

const int _n=5e5+10;
int t,n,k,fac[_n],inv[_n];;
ll ans;
int C(int m,int n){
  if(m<n)return 0;
  if(m<mod and n<mod)return 1ll*fac[m]*inv[n]%mod*inv[m-n]%mod;
  return 1ll*C(m/mod,n/mod)*C(m%mod,n%mod)%mod;
}
void genInv(){
  fac[0]=1;rep(i,1,n+1)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;=
  inv[n]=powmod(fac[n],mod-2);per(i,0,n)inv[i]=1ll*inv[i+1]*(i+1)%mod;
}
main(void) {ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
  cin>>n>>k;genInv();rep(i,1,n/k+1)ans=(ans+1ll*C(n/i-1,k-1))%mod;
  cout<<ans<<'
';
  return 0;
}

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