数学-n个互相独立的连续随机变量中第i小的数值期望

6.4.2020 updated：
现在回看了一下当时自己…哎……
整半天原来可以直接调用已有结论……加在文末了……

提出问题

有 (n) 个互相独立的 (0) 至 (1) 之间等概率生成的随机变量，求从小到大排序后第 (i) 个数的数值期望

一个简化的问题

我们先来求解一个简化的问题：最大值的数值期望是多少？

我们会发现，由于这些变量都是在 (0) 到 (1) 之间等概率生成的，所以一个变量小于等于 (x) 的概率为 (x)（即 (P(x_0leq x)=x)），则这 (n) 个数中最大值为 (x) 的概率为 (x^{n-1})（其他 (n-1) 个变量都小于等于 (x)）

再考虑到有 (n) 个数都有可能成为最大值，所以最后答案还要再乘(inom n1)（实际上这个组合数应该放在原式的概率函数 (p(x)) 里的，但为了表达方便，我们将这个组合数提到最外面最后进行计算，后面的运算也是如此）

由于期望的计算公式为

[E(x)=sum_{k=1}^{+infty}x_kp_k ]

套到这题里就是

[int_0^1xcdot x^{n-1}cdot mathrm dx=frac 1{n+1} ]

乘上组合数，得到这个简化问题的答案为 (frac n{n+1})

扩展

我们现在求得了最大值（第 (n) 个数）的数值期望为 (frac n{n+1})，同理可以计算出最小数（第 (1) 个数）的数值期望为 (frac 1{n+1})，由期望的线性性大胆猜想第 (i) 个数的数值期望为 (frac i{n+1})

下面来证明这个式子

类比上面求最大值的解法，我们可以很容易地列出我们需要的式子

[int_0^1xcdot x^{i-1}cdot (1-x)^{n-i}cdot mathrm dx=int_0^1 x^i(1-x)^{n-i}cdot mathrm dx ]

（第 (i) 个数为 (x) 的概率为前 (i-1) 个数都小于等于 (x)，后 (n-i) 个数都大于等于 (x)，则概率为 (x^{i-1}cdot (1-x)^{n-i})）

这个式子在最后还要乘一个 (ncdot inom {n-1}{i-1})（(n) 个数都有可能成为第 (i) 个数，还要再选出小于等于 (x) 的 (i-1) 个数）

我们列出了式子，但这个式子并不像 (x^n) 这样好积分；为此，我们考虑分部积分：

[int_a^b uv'mathrm dx=uv|_a^b-int_a^b vu'mathrm dx ]

积分

明确目标，我们要求

[int_0^1 x^i(1-x)^{n-i}cdot mathrm dx ]

代 (egin{cases}u=(1-x)^{n-i}\v'=x^iend{cases})

则原式即为

[int_0^1uv'cdot mathrm dx=(uv)ig|_0^1-int_0^1 u'vcdot mathrm dx ]

由于 (uv) 在 (x=0) 或 (1) 时都为零，则只需要考虑后面的式子即可：

[-int_0^1 u'vcdot mathrm dx \ =int_0^1 (n-i)(1-x)^{n-i-1}frac 1{i+1}x^{i+1}cdot mathrm dx \ =frac {n-i}{i+1}cdot int_0^1x^{i+1}(1-x)^{n-i-1}cdot mathrm dx]

数列

发现这个式子和原式长得很像，可以对比一下：

[int_0^1 x^icdot (1-x)^{n-i}cdot dx\ int_0^1x^{i+1}(1-x)^{n-i-1}cdot dx ]

设 (a_i=int_0^1 x^i(1-x)^{n-i}cdot mathrm dx)，则可以得到一个有趣的递推式 (a_i=frac {n-i}{i+1}cdot a_{i+1})，而边界条件即为一开始证明的式子 (a_n=frac n{n+1})

从而可以得到 (a_i) 的通项公式 (a_i=frac {i!(n-i)!}{(n+1)!})

所以前面那一长溜的积分式，可以化简为 (frac {i!(n-i)!}{(n+1)!})

最后不要忘记之前提取出来的组合系数 (ncdot inom {n-1}{i-1})

解得的答案为 (frac {i!(n-i)!}{(n+1)!}cdot ncdot inom {n-1}{i-1}=frac i{n+1})

猜想得证

结论

有 (n) 个互相独立的 (0) 至 (1) 之间等概率生成的随机变量，求从小到大排序后第 (i) 个数的数值期望为 (frac i{n+1})

可以推广，若变量的生成范围为 ([l,r])，则第 (i) 小数的数值期望为 (l+frac {icdot(r-l)}{n+1})

最近加了友链的一位同学知道一个比较简单的组合解释，果真还是老了啊

updated：(Gamma) 函数与 (B) 函数

上面整这半天实际上可以用已有结论：

引入 (Gamma) 函数与 (Beta) 函数：

[Gamma(x)=int_0^{+infty}t^{x-1}e^{-t}dt \ B(x,y)=int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt ]

有几个结论：

• (Gamma(1)=1) 且 (Gamma(x+1)=xGamma(x))，故 (Gamma(x+1)=x!(xin mathbb Z))
• (B(x,y)=frac {Gamma(x)Gamma(y)}{Gamma(x+y)})

然后考虑到之前关键求的是

[int_0^1 x^i(1-x)^{n-i}cdot mathrm dx=B(i+1,n-i+1) ]

然后直接套结论就好了……还是数学没学好的说……（不过问了好几位dalao都没人提这玩意TAT）