题解-hdu2866 Special Prime

Problem

hdu-2866

题意：求区间([2,L])有多少素数(p)满足(n^3+pn^2=m^3)，其中(n,m)属于任意整数

Solution

原式等价于(n^2(p+n)=m^3)

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可证当(p|gcd(n^2,n+p))时，无解，因为当(n=kcdot p)时

(k^2p^3+k^3p^3=m^3)

(m=psqrt [3]{k^2+k^3})可证无整数解，对于这一点，证明如下

(k^2+k^3=k^2(1+k))

假如(1+k)为立方数，则要求(k^2)也为立方数，即(k)为立方数，这样的话，(k)与(k+1)都为立方数，这是不存在的（除非(k=0)，但这样的话不满足我们的题设了）

假如(1+k)不是立方数，则要求(k^2)里头必须有因数来填补(1+k)不能被开立方根的空缺，但(gcd(k,1+k)=1)，所以不可能有因数来填补空缺

即(m=psqrt[3]{k^2+k^3})无整数解

即(n ot =kcdot p)，即(p)不为(gcd(n^2,n+p))的因数，即它俩互质

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若(n=x^3,n+p=y^3)，则(m=x^2y,p=y^3-x^3)

则((y-x)|p)，由于(p)是质数，所以(y=x+1)

代回去发现(p=y^3-x^3=(x+1)^3-x^3)

所以可以枚举(x)，并使得计算出的(p)为质数即可

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define rg register

const int N=1001000;
int is[N],f[N],n;

void prework(){
	for(rg int i=2;i<1010;++i)if(!is[i])
		for(rg int j=i*i;j<N;j+=i)is[j]=1;
	for(rg int i=1;;++i){
		int v=1ll*(i+1)*(i+1)*(i+1)-1ll*i*i*i;
		if(v<N)f[v]=(is[v]?0:1);else break;
	}for(rg int i=1;i<N;++i)f[i]+=f[i-1];
}

int main(){
	prework();
	while(~scanf("%d",&n))
		if(n<7)puts("No Special Prime!");
		else printf("%d
",f[n]);
	return 0;
}