笔记-几何法解决三点定圆问题

Problem

bzoj1336/1337双倍经验题

题意概要：给定平面上(n)个点，求覆盖所有点的最小圆

Solution

刚看到这道题很迷，感觉感觉要(O(n^3))，但看了wwt的讲解，发现这题可以做到期望(O(n))，题解就不写了，网上到处都是（这篇比较明晰）

这里主要讲一下如何根据三点求过这三点的圆的问题

网上好像都是在解方程？

dalao代码：

if(fabs(a[j].y-a[i].y)<=eps||fabs(a[k].y-a[i].y)<=eps) continue;
l1.k=-(a[j].x-a[i].x)/(a[j].y-a[i].y); 
l1.b=(a[i].y+a[j].y)/2-l1.k*(a[i].x+a[j].x)/2;
l2.k=-(a[k].x-a[i].x)/(a[k].y-a[i].y);
l2.b=(a[i].y+a[k].y)/2-l2.k*(a[i].x+a[k].x)/2;
if(fabs(l1.k-l2.k)<=eps) continue;
o=intersection(l1,l2);r=o.dis(a[i]);

我用的向量＋几何方法，而这种做法的核心代码很短 其实也没短到哪里去

pnt b1=(p0+p1)*0.5,b2=(p0+p2)*0.5,d1=p1-p0,d2=p2-p0;
d1.rev(),d2.rev();
return b1+d1*(((b1-b2)*d2)/(d2*d1));

但不用特判斜率啊，下面证明一下（下面的线段长度就直接写线段名啦）

先画一个三角形( riangle ABC)，简化一下，以(A)为原点，画两个向量(vec {AB},vec{AC})（图一）

然后由于( riangle ABC)的外接圆圆心在三角形三条中垂线交点处，取得(AB,AC)中点(D,E)（图二）

再做出中垂线(DF,EG)，注意这里不会直接做出中垂线，取而代之旋转向量，设(A)为旋转中心，将(AB)旋转(90°)为(AH)，同理(AC)得(AI)，这个是可以用复数旋转出来的，但由于这个角是直角，所以可以特别判断，向量((x,y))变为((-y,x))

发现这时(vec{DF})与(vec{EG})的交点就是要求的圆心坐标，不妨设为(O)，这会儿需要得到(O)的坐标，即向量(vec {AO})，考虑到(vec {AO}=vec {AE}+vec {EO})，而已经知道(vec {AE}=frac 12 vec {AC})，所以只用求(vec {EO})

再考虑到已知条件中仅有(vec {AI}=vec {EG})是与之相关的，即(EO=kcdot vec {EG}=kcdot vec {AI})，要求出这个比值(k)

连接(EF,DE,HI)，再过(I)作(IJ perp AB)，过(E)作(EK perp DF)

这时做出了两个三角形( riangle AHI, riangle EFD)，(S_{ riangle AHI}=frac 12AHcdot AJ,S_{ riangle EFD}=frac 12DFcdot EK)，因为(AH=ED)，所以(frac {EK}{AJ}=frac{S_{ riangle AHI}}{S_{ riangle EFD}})

根据多年初中数学直觉，发现( riangle EKO∽ riangle AJI)，理由是三条边分别平行，则三个角对应相等，根据上面的那个等式 ，发现(k=frac {EO}{AI}=frac {EK}{AJ}=frac{S_{ riangle AHI}}{S_{ riangle EFD}})，而(S_{ riangle AHI}=frac 12 vec{AH}×vec{AI},S_{ riangle EFD}=frac 12 vec{DE}×vec{DF}=frac 12 (vec{AE}-vec{AD})×vec{AH})

则

(vec {AO}\=vec {AE}+vec {EO}\=vec {AE}+kcdot vec {AI}\=frac {EO}{AI}cdot vec {AI}\=frac {EK}{AJ}cdot vec {AI}\=frac{S_{ riangle AHI}}{S_{ riangle EFD}}cdot vec {AI}\=frac{vec{AH}×vec{AI}}{ (vec{AE}-vec{AD})×vec{AH}}cdot vec {AI})

到此，以上(vec {AH},vec {AI},vec {AE},vec {AD})都是已知量，(vec {AE},vec {AD})为原来三角形中向量的一半，(vec {AH} , vec {AI})为旋转后的向量

由此可知，只需要将两个向量旋转(90°)，求两个叉积就可以根据给定的三个点求过这三个点的圆心

upd：现在回看这个做法感觉有些智障