无平方因子数的分布 (Ⅰ)

无平方因子数的分布(Ⅰ)

Daoyi Peng

May 23, 2015

● 卷积方法余项估计

定义 1   乘性函数 $nmapsto mu^2(n)$, 其部分和

egin{equation*}
  Q(x):=sum_{nleqslant x}mu^2(n)
end{equation*}

等于不超过 $x$ 的无平方因子整数的个数.

定理 1   当 $x$ 趋于无穷时, 有

egin{equation*}
  Q(x)=frac{6}{pi^2}x+O(sqrt{x}).
end{equation*}

● 素数定理下余项估计
引理 1   素数定理

egin{equation*}
pi(x)=sum_{pleqslant x}1 = (1+o(1)) frac{x}{log x}
end{equation*}

与

egin{equation}label{eq:1}
M(x)=sum_{nleqslant x}mu(n)=o(x)
end{equation}

等价, 其中 $M(x)$ 称 Mertens 函数.
定理 2   在 eqref{eq:1} 下, 有

egin{equation*}
   Q(x)=frac{6}{pi^2}x+o(sqrt{x}) quad (x o infty).
end{equation*}

● $zeta(s)$ 的无零点区域
引理 2   存在绝对常数 $c>0$, 使得对 $ auinmathbb{R}$ 及

egin{equation*}
  sigma geqslant 1-frac{c}{log^9 (| au|+2)},
end{equation*}

有上界估计

egin{equation*}
  1/zeta(s) ll log^{7} (| au|+2).
end{equation*}

且在此区域 $ig{s: sigma geqslant 1-frac{c}{log^9 (| au|+2)} ig}$ 内 $zeta(s)$ 无零点.
定理 3   存在绝对正常数 $c>0$, 使得

egin{equation*}
  Q(x)=frac{6}{pi^2}x+O ig( x^{frac{1}{2}}exp(-c(log x)^{frac{1}{10}}) ig).
end{equation*}

引理 3 (Korobov 1958 Vinogradov 1958)    存在绝对常数 $c>0$, 使得对

egin{equation*}
  sigma geqslant 1-frac{c (loglog au)^{-1/3}}{(log au)^{2/3}} quad ( au geqslant 3),
end{equation*}

有上界估计

egin{equation*}
  1/zeta(s) ll (1+ au^{A(1-sigma)^{3/2}})(log au)^{2/3} quad (sigma geqslant 0, \, au geqslant 2).
end{equation*}

且在此区域 ${s: sigma geqslant 1- c (loglog au)^{-1/3}(log au)^{-2/3} }$ 内 $zeta(s)$ 无零点.
定理 4    存在绝对正常数 $c>0$, 使得

egin{equation*}
  Q(x)=frac{6}{pi^2}x +Oleft( sqrt{x}expig(-c (log x)^{frac{3}{5}} (loglog x)^{-frac{1}{5}}ig) ight).
end{equation*}

● Riemann 假设下的余项估计
Riemann 假设   $zeta(s)$ 的非平凡零点的实部为
[ Re varrho =dfrac{1}{2}.]
定理 5   贾朝华 (1993)   若 Riemann 假设成立, 则有

egin{equation*}
  Q(x) = frac{6}{pi^2} x + O_{varepsilon}(x^{17/54+ varepsilon}).
end{equation*}

● $Omega$ 结果
定理 6   当 $x$ 趋于无穷时, 有

egin{equation*}
  Q(x)=frac{6}{pi^2} x + Omega_{pm} (x^{1/4}).
end{equation*}

注   设 $varrho_{0}$ 为 $zeta(s)$ 第一个非平凡零点, 即其正虚部 $Im varrho_{0}$ 最小, 有

egin{equation*}
  limsup_{x o infty}  frac{Q(x)-6x/pi^2}{x^{frac{1}{4}}} geqslant igg|frac{zeta(varrho_{0}/2)}{varrho_{0} zeta'(varrho_0)} igg| geqslant 0.10043.
end{equation*}