王永强先生证明了如下公式：
egin{equation*} sum_{n leqslant x} sum_{mleqslant x} Big{ frac{x}{m+n} Big} = left(2log2-frac{zeta(2)}{2} ight)x^{2} +O (xlog x) end{equation*}
其中 ${ cdot }$ 表示小数部分.
当时（6 月），王先生将其结果发给我的朋友曾熊，随后我与马明辉给出了证明并做了推广（见多重小数部分和的渐近式与Ovidiu Furdui积分问题）。感谢王先生提供了一个有意思的结果。现在将王先生的证明方法呈现，这个证明更有数论意义。
证明 对固定的正整数 $n$, 考虑调和数的渐近式有 egin{align*} sum_{mleqslant x} frac{1}{m+n} & = sum_{mleqslant n+x} frac{1}{m} - sum_{mleqslant n} frac{1}{m} \ & = log(n+x) + gamma +OBig(frac{1}{n+x} Big) - log n - gamma + OBig(frac{1}{n} Big) \ & = log Big( 1+ frac{x}{n} Big) + OBig( frac{1}{n}Big). end{align*} 再对 $n$ 求和, 并使用 Stirling 公式, 可得 egin{align*} sum_{nleqslant x} sum_{mleqslant x} frac{1}{m+n} & = sum_{nleqslant x} left(log Big( 1+ frac{x}{n} Big) + OBig( frac{1}{n}Big) ight) = sum_{nleqslant x} log frac{n+x}{n} + O (log x) \ & = log (2[x])! - 2 log [x]! + O(log x) \ & = 2x(log 2x) -2x + O(log 2x) - 2 (xlog x -x + O(log x)) + O(log x) \ & = (2log 2) x + O(log x). end{align*} 于是有 egin{equation}label{eq:3} sum_{nleqslant x} sum_{mleqslant x} frac{x}{m+n} = (2log 2) x^2 + O(xlog x). end{equation} 另一方面, egin{equation*} sum_{n leqslant x} sum_{mleqslant x} Big[ frac{x}{m+n} Big] = sum_{ell leqslant x} f(ell) end{equation*} 其中 $f(ell)$ 是 $m+n mid ell$ 的正整数解的个数. 令 $m+n = d$, 其正整数解的个数为 $d-1$, 于是 egin{equation*} f(ell) = sum_{d mid ell} (d-1) = sum_{dmid ell} d - sum_{dmid ell} 1 = sigma(ell) - au(ell). end{equation*} 从而 egin{equation*} sum_{n leqslant x} sum_{mleqslant x} Big[ frac{x}{m+n} Big] = sum_{nleqslant x} sum_{mleqslant x} Big( frac{x}{m+n} - Big{ frac{x}{m+n} Big} Big) = sum_{ell leqslant x} ( sigma(ell) - au(ell) ). end{equation*} 其中 egin{equation*} sum_{ell leqslant x} sigma(ell) = frac{pi^2}{12} x^2 + O(x log x), quad sum_{ell leqslant x} au(ell) = x log x + O(x) end{equation*} 再结合 eqref{eq:3} 式, 即证.
下面我给出更精细的余项
- A. Walfisz (1963) egin{equation*} sum_{ell leqslant x} sigma(ell) = frac{pi^2}{12} x^2 + O ig( x log^{2/3} x ig) end{equation*} J. Bourgain 和 N. Watt (2017) egin{equation*} sum_{ell leqslant x} au(ell) = x log x + (2gamma-1)x + Oig( x^{frac{517}{1648}+varepsilon} ig). end{equation*} 其中 eqref{eq:3} 式我们有更精细的估计 egin{equation*} sum_{nleqslant x} sum_{mleqslant x} frac{x}{m+n} = (2log 2) x^2 - xlog x + Big(log 2 - frac{1}{2} - gamma Big) x + O(1). end{equation*} 于是 egin{equation*} sum_{n leqslant x} sum_{mleqslant x} Big{ frac{x}{m+n} Big} = left(2log2-frac{zeta(2)}{2} ight)x^{2} + Oig( x log^{2/3} x ig). end{equation*}