一个极限问题
最近（11月），考虑了如下问题，好友马明辉给出了一个解答（见微信公众号：Xionger 的数学小屋），然而，我只写出了第一问，哈哈。
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设 $x_{n}$ $(ngeqslant 2)$ 是如下方程 egin{equation}label{eq:1} x^{-n} = sum_{k=1}^{infty} (x+k)^{-n} end{equation} 唯一的正数解. (i) 判断极限 $limlimits_{n o +infty} frac{x_{n}}{n}$ 是否存在, 若存在求出此极限. (ii) 若 $limlimits_{n o +infty} frac{x_{n}}{n} = A$, 证明 $limlimits_{n o +infty} n left(frac{x_{n}}{n} - A ight)$ 存在, 再求极限. (iii) 若 (ii) 中得到的极限是 $B$, 证明 $limlimits_{n o +infty} n left[nleft(frac{x_{n}}{n} - A ight)-B ight]$ 存在, 并证明该极限值是无理数. |
方程 eqref{eq:1} 右边容易想到 Hurwitz zeta 函数 egin{equation}label{eq:2} zeta(n,x) = sum_{k=0}^{infty} frac{1}{(x+k)^{n}} = frac{1}{x^{n}} + sum_{k=1}^{infty} frac{1}{(x+k)^{n}}, end{equation} 则原方程 eqref{eq:1} 化为 egin{equation}label{eq:3} zeta(n,x) = frac{2}{x^{n}}. end{equation} 接着我们要考虑 Polygamma 函数与 Hurwitz zeta 函数的关系 egin{equation}label{eq:4} psi^{(n-1)} (x) = (-1)^{n} (n-1)! zeta(n,x), end{equation} 以及 Polygamma 函数的 Laurent 级数表达式 egin{equation}label{eq:5} psi^{(n-1)} (x) = (-1)^{n} sum_{k=0}^{infty} frac{(k+n-2)!}{k!} frac{B_{k}}{x^{k+n-1}}. end{equation} 由 eqref{eq:4} 和 eqref{eq:5} 即得 egin{equation}label{eq:6} zeta(n,x) = sum_{k=0}^{infty} frac{(k+n-2)!}{k!(n-1)!} frac{B_{k}}{x^{k+n-1}}, end{equation} 结合 eqref{eq:3} 式, 我们有 egin{equation}label{eq:7} 2 = sum_{k=0}^{infty} frac{(k+n-2)!}{k!(n-1)!} frac{B_{k}}{x^{k-1}}, end{equation} 其中 $B_{k}$ 是 Bernoulli 数. 将 $B_{0}=1$, $B_{1}=frac{1}{2}$ 代入 eqref{eq:7} , 得 egin{equation*} 2 = frac{x}{n-1} + frac{1}{2} + sum_{k=2}^{infty} frac{(k+n-2)!}{k!(n-1)!} frac{B_{k}}{x^{k-1}}, end{equation*} 移项, 乘 $n-1$ 得 egin{equation*} x = frac{3}{2} n - frac{3}{2} - sum_{k=2}^{infty} frac{(k+n-2)!}{k!(n-2)!} frac{B_{k}}{x^{k-1}} end{equation*} 因为对于奇数 $kgeqslant 3$, $B_{k}=0$. 令 $k=2j$, 则 egin{equation}label{eq:8} x = frac{3}{2} n - frac{3}{2} - sum_{j=1}^{infty} frac{(2j+n-2)!}{(2j)!(n-2)!} frac{B_{2j}}{x^{2j-1}}. end{equation} 两边除以 $n$, egin{equation*} frac{x}{n} = frac{3}{2} - frac{3}{2}frac{1}{n} - sum_{j=1}^{infty} frac{(2j+n-2)!}{n(n-2)!} frac{B_{2j}}{(2j)!x^{2j-1}}. end{equation*} 令 $frac{x}{n} = frac{1}{2y}$, 即 $ frac{1}{x} = frac{2y}{n}$, 则有 egin{align*} frac{1}{2y} & = frac{3}{2} - frac{3}{2}frac{1}{n} - sum_{j=1}^{infty} frac{(2j+n-2)!}{n(n-2)!} frac{B_{2j}}{(2j)!} frac{2^{2j-1}y^{2j-1}}{n^{2j-1}} \ & = frac{3}{2} - frac{3}{2}frac{1}{n} - sum_{j=1}^{infty} frac{(2j+n-2)!}{n^{2j}(n-2)!} frac{B_{2j}2^{2j-1}y^{2j-1}}{(2j)!}. end{align*} 两边乘以 $2$, 移项得 egin{equation}label{eq:9} frac{1}{y} + sum_{j=1}^{infty} frac{(2j+n-2)!}{n^{2j}(n-2)!} frac{2^{2j}B_{2j}y^{2j-1}}{(2j)!} = 3- frac{3}{n}. end{equation} 注意到 egin{equation*} lim_{n o +infty} frac{(2j+n-2)!}{n^{2j}(n-2)!} = 1, end{equation*} 且 $0<y<pi$. 设 $limlimits_{n o +infty} y = z$, 当 $n o +infty$ 时, eqref{eq:9} 式左边为双曲余切函数 egin{equation*} coth z = frac{1}{z} + sum_{j=1}^{infty} frac{2^{2j}B_{2j}z^{2j-1}}{(2j)!}, end{equation*} 从而 egin{equation*} coth z = frac{mathrm{e}^{z}+mathrm{e}^{-z}}{mathrm{e}^{z}-mathrm{e}^{-z}} = frac{mathrm{e}^{2z}+1}{mathrm{e}^{2z}-1} = 3. end{equation*} 解得 egin{equation*} z = frac{log 2}{2} = lim_{n o +infty} y, end{equation*} 所以 egin{equation*} lim_{n o +infty} frac{x}{n} = lim_{n o +infty} frac{1}{2y} = frac{1}{log 2}. end{equation*}