一 、概述
线段树，类似区间树，它在各个节点保存一条线段（数组中的一段子数组），主要用于高效解决连续区间的动态查询问题，由于二叉结构的特性，它基本能保持每个操作的复杂度为O(logn)。
线段树的每个节点表示一个区间，子节点则分别表示父节点的左右半区间，例如父亲的区间是[a,b]，那么(c=(a+b)/2)左儿子的区间是[a,c]，右儿子的区间是[c+1,b]。
二 、从一个例子理解线段树
下面我们从一个经典的例子来了解线段树，问题描述如下:从数组arr[0...n-1]中查找某个数组某个区间内的最小值，其中数组大小固定，但是数组中的元素的值可以随时更新。
对这个问题一个简单的解法是：遍历数组区间找到最小值，时间复杂度是O(n),额外的空间复杂度O(1)。当数据量特别大，而查询操作很频繁的时候，耗时可能会不满足需求。
另一种解法：使用一个二维数组来保存提前计算好的区间[i,j]内的最小值，那么预处理时间为O(n^2)，查询耗时O(1), 但是需要额外的O(n^2)空间，当数据量很大时，这个空间消耗是庞大的，而且当改变了数组中的某一个值时，更新二维数组中的最小值也很麻烦。
我们可以用线段树来解决这个问题：预处理耗时O(n)，查询、更新操作O(logn)，需要额外的空间O(n)。根据这个问题我们构造如下的二叉树
- 叶子节点是原始组数arr中的元素
- 非叶子节点代表它的所有子孙叶子节点所在区间的最小值
例如对于数组[2, 5, 1, 4, 9, 3]可以构造如下的二叉树（背景为白色表示叶子节点，非叶子节点的值是其对应数组区间内的最小值，例如根节点表示数组区间arr[0...5]内的最小值是1）
由于线段树的父节点区间是平均分割到左右子树，因此线段树是完全二叉树，对于包含n个叶子节点的完全二叉树，它一定有n-1个非叶节点，总共2n-1个节点，因此存储线段是需要的空间复杂度是O(n)。那么线段树的操作：创建线段树、查询、节点更新
是如何运作的呢？
2.1 创建线段树
对于线段树我们可以选择和普通二叉树一样的链式结构。由于线段树是完全二叉树，我们也可以用数组来存储，下面的讨论及代码都是数组来存储线段树，节点结构如下（注意到用数组存储时，有效空间为2n-1,实际空间确不止这么多，比如上面的线段树中叶子节点1、3虽然没有左右子树，但是的确占用了数组空间，实际空间是满二叉树的节点数目： ， 是树的高度，但是这个空间复杂度也是O(n)的 ）。
struct SegTreeNode
{
int val;
}；
定义包含n个节点的线段树 SegTreeNode segTree[n]，segTree[0]表示根节点。那么对于节点segTree[i]，它的左孩子是segTree[2*i+1],右孩子是segTree[2*i+2]。
我们可以从根节点开始，平分区间，递归的创建线段树，线段树的创建函数如下：
const int MAXNUM = 1000;
struct SegTreeNode
{
int val;
}segTree[MAXNUM];//定义线段树
/*
功能：构建线段树
root：当前线段树的根节点下标
arr: 用来构造线段树的数组
istart：数组的起始位置
iend：数组的结束位置
*/
void build(int root, int arr[], int istart, int iend)
{
if(istart == iend)//叶子节点
segTree[root].val = arr[istart];
else
{
int mid = (istart + iend) / 2;
build(root*2+1, arr, istart, mid);//递归构造左子树
build(root*2+2, arr, mid+1, iend);//递归构造右子树
//根据左右子树根节点的值，更新当前根节点的值
segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val);
}
}
2.2 查询线段树
已经构建好了线段树，那么怎样在它上面超找某个区间的最小值呢？查询的思想是选出一些区间，使他们相连后恰好涵盖整个查询区间，因此线段树适合解决“相邻的区间的信息可以被合并成两个区间的并区间的信息”的问题。代码如下，具体见代码解释
/*
功能：线段树的区间查询
root：当前线段树的根节点下标
[nstart, nend]: 当前节点所表示的区间
[qstart, qend]: 此次查询的区间
*/
int query(int root, int nstart, int nend, int qstart, int qend)
{
//查询区间和当前节点区间没有交集
if(qstart > nend || qend < nstart)
return INFINITE;
//当前节点区间包含在查询区间内
if(qstart <= nstart && qend >= nend)
return segTree[root].val;
//分别从左右子树查询，返回两者查询结果的较小值
int mid = (nstart + nend) / 2;
return min(query(root*2+1, nstart, mid, qstart, qend),
query(root*2+2, mid + 1, nend, qstart, qend));
}举例说明（对照上面的二叉树）：
1、当我们要查询区间[0,2]的最小值时，从根节点开始，要分别查询左右子树，查询左子树时节点区间[0,2]包含在查询区间[0,2]内，返回当前节点的值1，查询右子树时，节点区间[3,5]和查询区间[0,2]没有交集，返回正无穷INFINITE，查询结果取两子树查询结果的较小值1，因此结果是1.
2、查询区间[0,3]时，从根节点开始，查询左子树的节点区间[0,2]包含在区间[0,3]内，返回当前节点的值1；查询右子树时，继续递归查询右子树的左右子树，查询到非叶节点4时，又要继续递归查询：叶子节点4的节点区间[3,3]包含在查询区间[0,3]内，返回4，叶子节点9的节点区间[4,4]和[0,3]没有交集，返回INFINITE,因此非叶节点4返回的是min(4, INFINITE) = 4，叶子节点3的节点区间[5,5]和[0,3]没有交集，返回INFINITE,因此非叶节点3返回min(4, INFINITE) = 4, 因此根节点返回 min(1,4) = 1。
2.3单节点更新
单节点更新是指只更新线段树的某个叶子节点的值，但是更新叶子节点会对其父节点的值产生影响，因此更新子节点后，要回溯更新其父节点的值。
/*
功能：更新线段树中某个叶子节点的值
root：当前线段树的根节点下标
[nstart, nend]: 当前节点所表示的区间
index: 待更新节点在原始数组arr中的下标
addVal: 更新的值（原来的值加上addVal）
*/
void updateOne(int root, int nstart, int nend, int index, int addVal)
{
if(nstart == nend)
{
if(index == nstart)//找到了相应的节点，更新之
segTree[root].val += addVal;
return;
}
int mid = (nstart + nend) / 2;
if(index <= mid)//在左子树中更新
updateOne(root*2+1, nstart, mid, index, addVal);
else updateOne(root*2+2, mid+1, nend, index, addVal);//在右子树中更新
//根据左右子树的值回溯更新当前节点的值
segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val);
}比如我们要更新叶子节点4（addVal = 6）,更新后值变为10，那么其父节点的值从4变为9，非叶结点3的值更新后不变，根节点更新后也不变。
2.4 区间更新
区间更新是指更新某个区间内的叶子节点的值，因为涉及到的叶子节点不止一个，而叶子节点会影响其相应的非叶父节点，那么回溯需要更新的非叶子节点也会有很多，如果一次性更新完，操作的时间复杂度肯定不是O(lgn)，例如当我们要更新区间[0,3]内的叶子节点时，需要更新出了叶子节点3,9外的所有其他节点。为此引入了线段树中的延迟标记概念，这也是线段树的精华所在。
延迟标记：每个节点新增加一个标记，记录这个节点是否进行了某种修改(这种修改操作会影响其子节点)，对于任意区间的修改，我们先按照区间查询的方式将其划分成线段树中的节点，然后修改这些节点的信息，并给这些节点标记上代表这种修改操作的标记。在修改和查询的时候，如果我们到了一个节点p，并且决定考虑其子节点，那么我们就要看节点p是否被标记，如果有，就要按照标记修改其子节点的信息，并且给子节点都标上相同的标记，同时消掉节点p的标记。
因此需要在线段树结构中加入延迟标记域，本文例子中我们加入标记与addMark，表示节点的子孙节点在原来的值的基础上加上addMark的值，同时还需要修改创建函数build 和 查询函数 query，修改的代码用红色字体表示，其中区间更新的函数为update，代码如下：
const int INFINITE = INT_MAX;
const int MAXNUM = 1000;
struct SegTreeNode
{
int val;
int addMark;//延迟标记
}segTree[MAXNUM];//定义线段树
/*
功能：构建线段树
root：当前线段树的根节点下标
arr: 用来构造线段树的数组
istart：数组的起始位置
iend：数组的结束位置
*/
void build(int root, int arr[], int istart, int iend)
{
segTree[root].addMark = 0;//----设置标延迟记域
if(istart == iend)//叶子节点
segTree[root].val = arr[istart];
else
{
int mid = (istart + iend) / 2;
build(root*2+1, arr, istart, mid);//递归构造左子树
build(root*2+2, arr, mid+1, iend);//递归构造右子树
//根据左右子树根节点的值，更新当前根节点的值
segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val);
}
}
/*
功能：当前节点的标志域向孩子节点传递
root: 当前线段树的根节点下标
*/
void pushDown(int root)
{
if(segTree[root].addMark != 0)
{
//设置左右孩子节点的标志域，因为孩子节点可能被多次延迟标记又没有向下传递
//所以是 “+=”
segTree[root*2+1].addMark += segTree[root].addMark;
segTree[root*2+2].addMark += segTree[root].addMark;
//根据标志域设置孩子节点的值。因为我们是求区间最小值，因此当区间内每个元
//素加上一个值时，区间的最小值也加上这个值
segTree[root*2+1].val += segTree[root].addMark;
segTree[root*2+2].val += segTree[root].addMark;
//传递后，当前节点标记域清空
segTree[root].addMark = 0;
}
}
/*
功能：线段树的区间查询
root：当前线段树的根节点下标
[nstart, nend]: 当前节点所表示的区间
[qstart, qend]: 此次查询的区间
*/
int query(int root, int nstart, int nend, int qstart, int qend)
{
//查询区间和当前节点区间没有交集
if(qstart > nend || qend < nstart)
return INFINITE;
//当前节点区间包含在查询区间内
if(qstart <= nstart && qend >= nend)
return segTree[root].val;
//分别从左右子树查询，返回两者查询结果的较小值
pushDown(root); //----延迟标志域向下传递
int mid = (nstart + nend) / 2;
return min(query(root*2+1, nstart, mid, qstart, qend),
query(root*2+2, mid + 1, nend, qstart, qend));
}
/*
功能：更新线段树中某个区间内叶子节点的值
root：当前线段树的根节点下标
[nstart, nend]: 当前节点所表示的区间
[ustart, uend]: 待更新的区间
addVal: 更新的值（原来的值加上addVal）
*/
void update(int root, int nstart, int nend, int ustart, int uend, int addVal)
{
//更新区间和当前节点区间没有交集
if(ustart > nend || uend < nstart)
return ;
//当前节点区间包含在更新区间内
if(ustart <= nstart && uend >= nend)
{
segTree[root].addMark += addVal;
segTree[root].val += addVal;
return ;
}
pushDown(root); //延迟标记向下传递
//更新左右孩子节点
int mid = (nstart + nend) / 2;
update(root*2+1, nstart, mid, ustart, uend, addVal);
update(root*2+2, mid+1, nend, ustart, uend, addVal);
//根据左右子树的值回溯更新当前节点的值
segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val);
}区间更新举例说明：当我们要对区间[0,2]的叶子节点增加2，利用区间查询的方法从根节点开始找到了非叶子节点[0-2]，把它的值设置为1+2 = 3，并且把它的延迟标记设置为2，更新完毕；当我们要查询区间[0,1]内的最小值时，查找到区间[0,2]时，发现它的标记不为0，并且还要向下搜索，因此要把标记向下传递，把节点[0-1]的值设置为2+2 = 4，标记设置为2，节点[2-2]的值设置为1+2 = 3，标记设置为2（其实叶子节点的标志是不起作用的，这里是为了操作的一致性），然后返回查询结果：[0-1]节点的值4；当我们再次更新区间[0,1]（增加3）时，查询到节点[0-1],发现它的标记值为2，因此把它的标记值设置为2+3 = 5，节点的值设置为4+3 = 7；
其实当区间更新的区间左右值相等时（[i,i]），就相当于单节点更新，单节点更新只是区间更新的特例。
三、 线段树实战（暂放2题，回头再改代码……）
求区间的最大值、区间求和等问题都是采用类似上面的延迟标记域。下面会通过acm的一些题目来运用一下线段树。
3.1 HDU 1166 敌兵布阵
操作：单点增加或减少，查询区间和.
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 50010;
struct ST
{
int l,r;
int sum;
}st[4*maxn];
void pushUp(int i)
{
st[i].sum = st[2*i].sum + st[2*i+1].sum;
}
void build(int i,int l,int r)
{
st[i].l = l;
st[i].r = r;
if(st[i].l == st[i].r)
{
scanf("%d",&st[i].sum);
return ;
}
int mid = (st[i].l+st[i].r)>>1;
build(2*i,l,mid);
build(2*i+1,mid+1,r);
pushUp(i);
}
void add(int i,int p,int val)
{
if(st[i].l == st[i].r)
{
st[i].sum += val;
return ;
}
int mid = (st[i].l+st[i].r)>>1;
if(p<=mid)
add(2*i,p,val);
else
add(2*i+1,p,val);
pushUp(i);
}
int query(int i,int L,int R)
{
if(st[i].l == L && st[i].r == R)
{
return st[i].sum;
}
int mid = (st[i].l+st[i].r)>>1;
if(R <= mid)
return query(2*i,L,R);
else if(L > mid)
return query(2*i+1,L,R);
else
return query(2*i,L,mid)+query(2*i+1,mid+1,R);
}
int n;
char cm[10];
int main()
{
//freopen("input.txt","r",stdin);
//freopen("out.txt","w",stdout);
int cas = 1;
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
printf("Case %d:
",cas++);
scanf("%d",&n);
build(1,1,n);
while(scanf("%s",cm))
{
if(cm[0]=='Q')
{
int l,r;
scanf("%d %d",&l,&r);
printf("%d
",query(1,l,r));
}
else if(cm[0]=='A')
{
int p,val;
scanf("%d %d",&p,&val);
add(1,p,val);
}
else if(cm[0]=='S')
{
int p,val;
scanf("%d %d",&p,&val);
add(1,p,-val);
}
else
break;
}
}
return 0;
}
3.2 HDU 1754 I hate it
操作：单点替换为另一个值，查询区间最大值.
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn=200010;
struct ST
{
int l,r;
int MAX;
}st[maxn<<2];
void pushUp(int i)
{
st[i].MAX=max(st[i<<1].MAX,st[(i<<1)|1].MAX);
}
void build(int i,int l,int r)
{
st[i].l=l;
st[i].r=r;
if(st[i].l==st[i].r)
{
scanf("%d",&st[i].MAX);
return;
}
int mid=(st[i].l+st[i].r)>>1;
build(i<<1,l,mid);
build((i<<1)|1,mid+1,r);
pushUp(i);
}
void update(int i,int p,int val)
{
if(st[i].l==st[i].r)
{
st[i].MAX=val;
return;
}
int mid=(st[i].l+st[i].r)>>1;
if(p<=mid)
update(i<<1,p,val);
else
update((i<<1)|1,p,val);
pushUp(i);
}
int query(int i,int L,int R)
{
if(st[i].l==L&&st[i].r==R)
{
return st[i].MAX;
}
int mid=(st[i].l+st[i].r)>>1;
if(R<=mid)
return query(i<<1,L,R);
else if(L>mid)
return query((i<<1)|1,L,R);
else
return max(query(i<<1,L,mid),query((i<<1)|1,mid+1,R));
}
int n,m;
char cm[5];
int main()
{
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
{
build(1,1,n);
while(m--)
{
scanf("%s",cm);
if(cm[0]=='Q')
{
int l,r;
scanf("%d%d",&l,&r);
printf("%d
",query(1,l,r));
}
else
{
int p,val;
scanf("%d%d",&p,&val);
update(1,p,val);
}
}
}
return 0;
}