动态规划题目总结

本篇总结涉及的题目包括两道经典的动规题目（来自头条题库）及剑指offer中的所有（10道）动归题目（题目分类链接见文末）。

动规问题是算法中比较经典并且比较难的一类算法，通常解决该类问题的思路是：

① 假设状态（从问题中抽象出dp[i]或者dp[i][j]的含义）

② 找出状态转移方程（待求解问题和子问题的关系）

③ 确定边界（一般问题都有初始值，或者需要考虑特殊情况）

④ 确定实现方式（自上而下或者自下而上，本篇博客都采取的是自下而上的实现方式，因为该方法更加高效）

经典题1：编辑距离

题目描述：给定两个字符串，允许增加，删除或者修改字符来使得两个字符串一致的最少操作次数。

假设状态：dp[i,j]代表字符串s1的前i个字符和字符串s2的前j的字符的编辑距离

状态转移方程及边界：

 代码实现：

 理解并写出状态转移之后，代码实现就比较容易了，考察代码能力。首先可以先画出这个二维表，长和宽分别为两个字符串的长度m和n。由于dp[i,j]依赖于dp[i-1,j-1], dp[i-1,j]和dp[i,j-1]，也就是一个元素依赖于其左边上边和左上角的三个元素，因此只需填充初始值，接着按行计算就可以了，填完表后，我们要返回的值就是dp[-1][-1]，也就是最右下角的值。后续代码实现类似，不详细展开，具体代码实现见文末。

经典题2：最长回文子串

题目描述：一个字符串中最长的具有回文特征的子串。（子串是连续的，子序列是可以不连续的）

假设状态：dp[i,j]代表dp[i]到dp[j]是否为回文串

状态转移方程及边界：

dp[i,j]=dp[i+1,j-1] and (dp[i]==dp[j])

实现注意：对角线为T，左下三角为F。因为依赖左下角元素，所以需要计算出连续2个字符的回文情况才可以用状态转移计算其他的。

下面前4道都是和Fibonacci数列相关的题目，2-4主要是问题抽象和思路转化。

剑指1：Fibonacci数列

题目描述：0，1，1，2，3，5，8，...

假设状态：dp[i]代表第i个元素的值

状态转移方程及边界：子问题非常明显，可以直接根据题意写出

剑指2：矩形覆盖

题目描述：n个2x1的矩形去覆盖2xn的矩形，有多少种覆盖方法

假设状态：dp[i]代表当n为i的时候的方法数，因为每次可以竖着放一个或者横着放两个，所以有两种选择，只需考虑剩下的部分即可。当然另外一种方法是你写出前几个的方法数，找规律，但是如果没有特别明显的规律就不可行了。

状态转移方程及边界：

剑指3：青蛙跳台阶

题目描述：n个台阶，每次跳1或2个，求跳法数。

假设状态：dp[i]代表当n为i的时候的方法数

状态转移方程及边界：

剑指4：变态跳台阶

题目描述：n个台阶，每次跳1/2/.../n个，求跳法数。

假设状态：dp[i]代表当n为i的时候的方法数

状态转移方程及边界：

dp[1]=1, dp[2]=2

dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]+...+dp[0]

dp[i-1]=dp[i-2]+...+dp[0]

所以dp[i]=2dp[i-1]=2^i-1

剑指5：连续子数组的最大和

题目描述：一个数组中连续子数组和的最大值

假设状态：这里比较难，要找到子结构。因为子数组的起始和末尾都可以不固定，这样子结构就是任意的。我们可以固定起始位置，实现如下图所示的子结构。

dp[i]代表以nums[i]为结尾的连续子数组的和的最大值，最后再取dp数组中的最大值即所求。

状态转移方程及边界：

 dp[0]=nums[0]

剑指6：礼物的最大价值

题目描述：一个数字矩阵，从左上角走到右下角路径和的最大值，只能向右或向下走。

假设状态：dp[i,j]代表走到（i,j）时候获取的最大值。

状态转移方程及边界：

dp[i,j]=max(dp[i-1,j], dp[i,j-1])+Arr[i,j]

剑指7：最长不含重复字符的子字符串

假设状态：和上上道题目类似，dp[j]代表以str[j]结尾的不重复子串的最大长度。

状态转移方程及边界：

假设str[j]左边最近的满足str[i]=str[j]的字符str[i]：

剑指8：丑数

题目描述：只含因子2,3,5的数叫丑数，求第n个丑数。

假设状态：dp[i]

状态转移方程及边界：

本题目需要一些数学推导来简化过程，否则也会超时

剑指9：n个骰子的点数

题目描述：掷n个骰子，向上面之和的所有概率

假设状态：这个题首先可以化简为向上面之和出现的次数，因为最后只要除以6ⁿ即可。然后将少掷一个骰子剩下的骰子看作子问题。dp[i,j]代表投完i个骰子后，点数和为j的情况数。

状态转移方程及边界：

对于最后一个骰子，其值取1到6，然后考虑子问题，如果最后一个骰子为1(已经确定)，那么总情况数为dp[i-1,j-1],所以考虑6种情况：

dp[i,j]=dp[i-1,j-1]+dp[i-1,j-2]+dp[i-1,j-3]+dp[i-1,j-4]+dp[i-1,j-5]+dp[i-1,j-6]

(这个状态假设还是比较难的，所以最开始用自己的方法实现，然而超时了，详见代码)

剑指10：构建乘积数组

题目描述：求一个数组对应的乘积数组，其中一个数对应的乘积是原数组中除了该数之外其他数的积。

实现思路如下：

子问题就是不同长度的连续乘积，最后将两侧乘起来返回即可。

Ref:

剑指offer中算法题分类：https://github.com/CyC2018/CS-Notes/blob/master/notes/%E5%89%91%E6%8C%87%20Offer%20%E9%A2%98%E8%A7%A3%20-%20%E7%9B%AE%E5%BD%95.md

自己的题解（可能偶尔有的题参考了别人的code，侵删）：https://github.com/Cinderella0709/LeetcodePy/blob/main/DynamicProgramming.py