康拓展开

康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，常用于构建哈希表时的空间压缩。

康托展开的实质是计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序，因此是可逆的。

X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[1]*0!

其中,a[i]为整数,并且0<=a[i]<i,1<=i<=n

a[i] 实际意义就是：  设一串数字中第n个数为s[n]，   a[i]表示第n个数之后的数比s[n]小的数的个数。   看以下例子，便于理解举例：

例如，3 5 7 4 1 2 9 6 8 展开为 98884。因为X=2*8!+3*7!+4*6!+2*5!+0*4!+0*3!+2*2!+0*1!+0*0!=98884.

        解释：

        排列的第一位是3，比3小的数有两个，以这样的数开始的排列有8!个，因此第一项为2*8!

        排列的第二位是5，比5小的数有1、2、3、4，由于3已经出现，因此共有3个比5小的数，这样的排列有7!个，因此第二项为3*7!

        以此类推，直至0*0!

用途：显然，n位（0~n-1）全排列后，其康托展开唯一且最大约为n!，因此可以由更小的空间来储存这些排列。由公式可将X逆推出对应的全排列。

　　　　总之就是用来压缩空间的。。

const int PermSize = 12;
long long factory[PermSize] = { 0, 1, 2, 6, 24, 120,720, 5040, 40320, 362880, 3628800,39916800 };
long long Cantor(string buf) {
    int i, j, counted;
    long long result = 0;
    for (i = 0; i < PermSize; ++i) {
        counted = 0;
        for(j = i + 1; j < PermSize; ++j)
            if(buf[i] > buf[j])
                ++counted;
        result = result + counted *factory[PermSize - i - 1];
    }
    return result;
}

康托展开的逆运算:

例1 {1,2,3,4,5}的全排列，并且已经从小到大排序完毕

(1)找出第96个数

首先用96-1得到95

用95去除4! 得到3余23

有3个数比它小的数是4

所以第一位是4

用23去除3! 得到3余5

有3个数比它小的数是4但4已经在之前出现过了所以第二位是5（4在之前出现过，所以实际比5小的数是3个）

用5去除2!得到2余1

有2个数比它小的数是3，第三位是3

用1去除1!得到1余0

有1个数比它小的数是2，第二位是2

最后一个数只能是1

所以这个数是45321

(2)找出第16个数

首先用16-1得到15

用15去除4!得到0余15

用15去除3!得到2余3

用3去除2!得到1余1

用1去除1!得到1余0

有0个数比它小的数是1

有2个数比它小的数是3 但由于1已经在之前出现过了所以是4（因为1在之前出现过了所以实际比4小的数是2）

有1个数比它小的数是2 但由于1已经在之前出现过了所以是3（因为1在之前出现过了所以实际比3小的数是1）

有1个数比它小得数是2 但由于1，3，4已经在之前出现过了所以是5（因为1，3，4在之前出现过了所以实际比5小的数是1）

最后一个数只能是2

所以这个数是14352

二：

康托展开

　　康托展开的公式是 X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0! 其中，ai为当前未出现的元素中是排在第几个（从0开始）。
　　这个公式可能看着让人头大，最好举个例子来说明一下。例如，有一个数组 s = ["A", "B", "C", "D"]，它的一个排列 s1 = ["D", "B", "A", "C"]，现在要把 s1 映射成 X。n 指的是数组的长度，也就是4，所以
X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0!
关键问题是 a4、a3、a2 和 a1 等于啥？
a4 = "D" 这个元素在子数组 ["D", "B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"B"是第1大的元素，"C" 是第2大的元素，"D"是第3大的元素，所以 a4 = 3。
a3 = "B" 这个元素在子数组 ["B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"B"是第1大的元素，"C" 是第2大的元素，所以 a3 = 1。
a2 = "A" 这个元素在子数组 ["A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"C"是第1大的元素，所以 a2 = 0。
a1 = "C" 这个元素在子数组 ["C"] 中是第几大的元素。"C" 是第0大的元素，所以 a1 = 0。（因为子数组只有1个元素，所以a1总是为0）
所以，X(s1) = 3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20

A B C | 0
A C B | 1
B A C | 2
B C A | 3
C A B | 4
C B A | 5

通过康托逆展开生成全排列

　　如果已知 s = ["A", "B", "C", "D"]，X(s1) = 20，能否推出 s1 = ["D", "B", "A", "C"] 呢？
　　因为已知 X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0! = 20，所以问题变成由 20 能否唯一地映射出一组 a4、a3、a2、a1？如果不考虑 ai 的取值范围，有
3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20
2*3! + 4*2! + 0*1! + 0*0! = 20
1*3! + 7*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 10*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 0*2! + 20*1! + 0*0! = 20
等等。但是满足 0 <= ai <= n-1 的只有第一组。可以使用辗转相除的方法得到 ai，如下图所示：

知道了a4、a3、a2、a1的值，就可以知道s1[0] 是子数组["A", "B", "C", "D"]中第3大的元素 "D"，s1[1] 是子数组 ["A", "B", "C"] 中第1大的元素"B"，s1[2] 是子数组 ["A", "C"] 中第0大的元素"A"，s[3] 是子数组 ["C"] 中第0大的元素"C"，所以s1 = ["D", "B", "A", "C"]。