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Description.
定义一张图是 \(n\) 完美图当且仅当：
- 有 \(2^n(n\in\mathbb N)\) 个点和 \(n\times 2^{n-1}\) 条边
- \(\forall x,y\)，\(x\) 和 \(y\) 有边当且仅当 \(x\oplus y=2^k(k\in\mathbb N)\)
定义一张图是 \(n\) 好图当且仅当：
- 它可以通过一 \(n\) 完美图通过点置换得到
一个 \(k\) 染色方案是合法的当且仅当：
- 染色在 \(n\) 进行，染了 \(n\) 种颜色分别为 \(\{0,1,...,n-1\}\)
- 对于一个点，和它相邻的所有点颜色有 \(n\) 种不同的取值
给定一张好的图，请构造一个点置换，并构造一种合法的染色方案，如果无解输出 -1
Solution.
\(n\) 完美图是唯一的，且第 \(i\) 号点和 \(i^(2^k)\) 对称，这点根据定义可得。
\(\because k\in[0,n)\)，所以图上任意两个点都对称。
所以我们可以任意钦定一个点为完美图上的 \(0\) 号点。
同时，我们发现了一个性质，按照 \(\text{bit}(x)\) 的个数来分层，完美图是一个分层图。
那就钦定一个点为第 \(0\) 层，然后钦定第一层的全是 \(\{2^k\}\)，然后下一层的就等于上一层所有向他连边数的 \(\text{or}\)
然后第一问就构造完了，而且可以证明正确性。
考虑第二问，每个点总共就 \(n\) 条出边，而且分别 \(\oplus 2^i(i\in[0,n))\)。
考虑第一种颜色出现次数，它在每个节点周围出现了一次，总计 \(2^n\) 次。
然后每个颜色为 \(1\) 的节点，它周围有 \(n\) 个点，所以它被算重了 \(n\) 次。
所以真正出现次数是 \(\frac{2^n}{n}\)，这必定是一个整数。
我们证明了在 \(n\) 不为 \(2^k(k\in\mathbb N\) 的情况下必定无解。
首先考虑 \(0\) 号点，那我们可以钦定第 \(2^i\) 号点颜色是 \(i\)。
同时，考虑一个性质，一个长度为 \(2^k\) 的排列 \(\oplus x(x\in[0,2^k))\) 后仍然是个排列，证明显然。
所以我们可以对于一个数字，它所有拥有的位取 \(\oplus\)，可以证明这个构造方式一定是正确的。
设 \(n=2^k\)，那相当于它周围的所有点是 \(a_x\oplus y\ (y\in[0,2^k))\)，根据上面的性质，必然是一个排列。
所以正确性得证。
然后这题就做完了。
Coding.
点击查看弱代码
//是啊，你就是那只鬼了，所以被你碰到以后，就轮到我变成鬼了{{{
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long ll;
template<typename T>inline void read(T &x)
{
x=0;char c=getchar(),f=0;
for(;c<48||c>57;c=getchar()) if(!(c^45)) f=1;
for(;c>=48&&c<=57;c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
f?x=-x:x;
}/*}}}*/
const int N=65537;int n,m,lim,iv[N],rs[N];char v[N];
struct edge{int to,nxt;}e[N<<4];int et,head[N];
inline void adde(int x,int y) {e[++et]=(edge){y,head[x]},head[x]=et;}
inline void solve()
{
read(n),m=n*(1<<(n-1)),lim=1<<n,et=0;for(int i=0;i<lim;i++) head[i]=iv[i]=v[i]=0;
for(int i=0,x,y;i<m;i++) read(x),read(y),adde(x,y),adde(y,x);
vector<int>ls,nw;iv[0]=0,v[0]=1;int cnt=1;
for(int i=head[0],j=0;i;i=e[i].nxt,j++)
iv[e[i].to]=1<<j,ls.push_back(e[i].to),cnt++,v[e[i].to]=1;
while(cnt!=lim)
{
for(int x:ls) for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt) if(!v[e[i].to]) iv[e[i].to]|=iv[x];
for(int x:ls) for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
if(!v[e[i].to]) nw.push_back(e[i].to),v[e[i].to]=1,cnt++;
swap(nw,ls),nw.clear();
}
for(int i=0;i<lim;i++) rs[iv[i]]=i;
for(int i=0;i<lim;i++) printf("%d%c",rs[i],i==lim-1?'\n':' '),iv[i]=0;
if((n&(-n))!=n) return puts("-1"),void();
for(int i=0;i<lim;i++) for(int j=0;j<n;j++) if((i>>j)&1) iv[rs[i]]^=j;
for(int i=0;i<lim;i++) printf("%d%c",iv[i],i==lim-1?'\n':' ');
}
int main() {int Ca;for(read(Ca);Ca--;) solve();return 0;}