常用算法设计与分析

算法设计与分析

1. P问题，非P类问题，NP问题，NPC问题

   • P问题：如果一个问题可以找到一个能在多项式的时间（n在底数上面）里解决的算法，那么这个问题就是P问题。

   • NP问题：可以在多项式时间里验证一个解的问题。NP问题的另一个定义是，可以在多项式时间里猜出一个解的问题。

   • NPC问题（NP-完全问题）：

     存在这样一个NP问题，所有的NP问题都可以规约化为它，换句话说，只要解决了这个问题，那么所有的NP问题就都可以得到解决了。

     1. 他是一个NP问题
     2. 所有的NP问题都可以规约化得到它。

   • NP难问题，只满足NPC的第二个特征，而不满足第一个特征.

   P问题是一个NP问题，但是一个NP问题不一定是一个P问题。因为有NPC问题的存在，是的人们确信P问题 和NP问题不是相等的

   规约：一个问题A可以规约为问题B的含义是，可以用问题B的解法解决问题A。问题B的时间复杂度高于问题A的时间复杂度。

   我们所说的可约化问题指的是在多项时间内，找到一个变化法则，对于人一个程序A的输入，都都能按照程序B的输入，使两个程序的输出相同，那么我们说问题A可以约化为问题B。

   总之，P属于NP，NP属于NPC。

   • NPC问题的例子有：
     • 逻辑电路问题：给定一个逻辑电路，问是否存在一种输入使输出为True.
     • 哈密顿回路问题：
     • 旅行商问题

分治法

1. 思想

   1.	将一个规模为n的问题分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题相同。递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。
   
   2.	divide-and-conquer(P)
   {
   	if(|P| <= n0)adhoc(P);
   	divide P into samller subinstances P1,P2...,Pk;
   	for(int i = 1;i < k;i++)
   	{
   		yi = divide-and-conquer(Pi);
   	}
   	return merge(y1,y2...,yn);
   }
   3.如何划分子问题
   -	集合论，找到一个原来集合问题的一个划分，子问题之间不相交，同时子问题的规模类型相同
   -	最优子结构（子问题类型相同）
   -	最好使子问题的规模大致相同，即将一个问题的大小分成相等规模的k个子问题的处理方法是行之有效的。
   

2. 例子

   1.	fibonacci 数列		
   2. 	排列问题
   3.	整数划分问题
   4. 	Hanoi 塔问题
   5.	二分搜索
   6.	大整数乘法
   7.	Strassen 矩阵乘法
   8.	合并排序
   9.	快速排序
   

3. 复杂度分析

   主定理：T(n) = aT(n/b)+f(n),a>=1,b>1,f(n)是给定的多项式函数，刻画了一个分值算法，生成a个子问题，每个问题的规模是原来的1/b，分解合并步骤共消耗f(n). T(n)的复杂度的分析如下：
   1.	若f(n)<n^(log(a/b)) 则T(n) = n^(log(a/b))
   2.  若f(n)=n^(log(a/b)) 则T(n) = n^(log(a/b))logn
   3.  若f(n)>n^(log(a/b)) 则T(n) = f(n)
   

动态规划

1. 思想

   用一个表来记录所有以解决问题子问题的答案，不管该子问题以后是否会用到，只要它被计算过，就将其结果存入到表中，这就是动态规划法的基本思想。
   基本要素：
   1. 最优子结构：当一个问题的最优解包含了其子问题的最优解时，称该问题具有最优子结构性质。
   2. 重叠子问题： 在使用递归算法的时候有很多子问题是重叠的，那么我们使用一个表将已经求解过的子问题的结果保存下来
   

   备忘录方法
   1. 与动态规划一样：备忘录方法也是使用一张表来保存子问题的答案，下次需要解此子问题的时候，我们只需要简单查看该子问题的答案即可，而不是重新计
   算。
   2. 与动态规划不同：备忘录方法的递归方式是自顶向下的，而动态规划是自底向上的。 备忘录方法与直接控制的递归结构是相同的，但是他不用重复求解相同子问题。
   3. 当一个问题的所有子问题都要至少解一次时，使用动态规划算法比备忘录方法好。 当子问题空间中部分子问题不必求解时，用备忘录方法则较为有利，备忘录方法只用来求解那些需要求解的子问题。

2. 基本步骤
   1. 找出最优解的性质，并刻画其结构特征
   2. 递归地定义最优值
   3. 以自底向上的方式计算出最优值
   4. 根据计算最优值时得到的信息，构造最优解

3. 例子

   1. 矩阵连乘
   2. 最长公共子序列
   3. 0-1背包问题

贪心算法

1. 思想

   贪心算法总是做出当前看来最好的选择，也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它做出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。
   贪心选择的基本要素：
   1.	贪心选择性质： 所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择，即贪心选择来达到。
   2.	最优子结构： 一个问题的最优解包含其子问题的最优解时，此问题具有最优子结构性质
   

2. 贪心算法VS动态规划

   1.	贪心算法拥有贪心选择性质，动态化算法没有。动态规划算法中，每步所作出的选择往往依赖于相关子问题的解。因而只有在解出相关子问题后，才能作出选择； 而贪心算法中，仅在当前状态下作出最好选择，即局部最优选择。然后去解作出这个选择后产生相应的子问题。 贪心选择依赖于过往所做选择，但是不以利于将来将要作出的选择，也不依赖于子问题的解。
   2. 动态规划算法通常以自底向上的方式解各子问题，贪心算法则是自顶向下方式迭代进行贪心选择，每一次贪心选择将所求问题简化为规模更小的子问题
   

3. 例子

   1. 活动安排问题 （最早截止时间优先）
   2. 背包问题	（权重空间比值最大者优先）
   3. 哈夫曼编码 （频率大者优先）
   4. 单源最短路径 （局部最短路径优先）
   5. 最小生成树
   	-prim （与源集合相连的权值最小边优先）
   	-kruskal-(集合中边权值最小优先)
   6.	多级调度问题（长作业优先）