[LintCode] Median（期望时间复杂度O(n)求中位数和第k大数）

class Solution {
public:
    /**
     * @param nums: A list of integers.
     * @return: An integer denotes the middle number of the array.
     */
    void swap(vector<int> &v, int i, int j)
    {
        int tmp = v[i];
        v[i] = v[j];
        v[j] = tmp;
    }
    int getMinK(vector<int> &v, int left, int right, int k)
    {
        if(left<right)
        {
            int i = left-1, j = left;
            for(; j<right;  ++j)
            {
                if(v[j]<v[right])
                {
                    ++i;
                    swap(v, i, j);
                }
            }
            swap(v, i+1, right);
            if(k==i+1)  return v[i+1];
            else if(k<=i)   return getMinK(v, left, i, k);
            else return getMinK(v, i+2, right, k);
        }
        else    return v[left];
    }
    int median(vector<int> &v) {
        // write your code here
        return getMinK(v, 0, v.size()-1, (v.size()-1)/2);
    }
};

主要利用快排递归划分的思想，可以在期望复杂度为O(n)的条件下求第k大数。快排的期望复杂度为O(nlogn)，因为快排会递归处理划分的两边，而求第k大数则只需要处理划分的一边，其期望复杂度将是O(n)。详细的证明见《算法导论》。

我们可以这样粗略的思考：

假设我们的数据足够的随机，每次划分都在数据序列的中间位置，那么第一次划分我们需要遍历约n个数，第二次需要遍历约n/2个数，...，这样递归下去，最后：n+n/2+n/(2^2)+n/(2^3)+...+n/(2^k)+... = (1+1/2+1/(2^2)+1/(2^3)+...+1/(2^k)+...)*n, 当k趋于无穷大的时候，上式的极限为2n。