#1296 : 数论三·约瑟夫问题
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描述
小Hi和小Ho的班级正在进行班长的选举，他们决定通过一种特殊的方式来选择班长。
首先N个候选人围成一个圈，依次编号为0..N-1。然后随机抽选一个数K，并0号候选人开始按从1到K的顺序依次报数，N-1号候选人报数之后，又再次从0开始。当有人报到K时，这个人被淘汰，从圈里出去。下一个人从1开始重新报数。
也就是说每报K个数字，都会淘汰一人。这样经过N-1轮报数之后，圈内就只剩下1个人了，这个人就作为新的班长。
举个例子，假如有5个候选人，K=3：
初始 0: 0 1 2 3 4 从0号开始报数，第1次是2号报到3 1: 0 1 - 3 4 // 0 1 2, 2号候选人淘汰 从3号开始报数，第2次是0号报到3 2: - 1 3 4 // 3 4 0, 0号候选人淘汰 从1号开始报数，第3次是4号报到3 3: 1 3 - // 1 3 4, 4号候选人淘汰 从1号开始报数，第4次是1号报到3 4: - 3 // 1 3 1, 1号候选人淘汰
对于N=5,K=3的情况，最后当选班长的人是编号为3的候选人。
小Ho：小Hi，我觉得当人数和K都确定的时候已经可以确定结果了。
小Hi：嗯，没错。
小Ho：我也想当班长，小Hi你能提前告诉我应该站在哪个位置么？
小Hi：我可以告诉你怎么去求最后一个被淘汰的位置，不过具体的值你得自己去求解。
小Ho：嗯，没问题，那么你快告诉我方法吧！
输入
第1行：1个正整数t，表示多组输入数据，1≤t≤100
第2..t+1行：每行2个正整数n,k，第i+1行表示第i组测试数据，2≤n≤1,000,000,000。2≤k≤1,000
输出
第1..t行：每行1个整数，第i行表示第i组数据的解
- 样例输入
-
2 5 3 8 3
- 样例输出
-
3 6
-
首先第一种递推：f[i]表示有i个人时，最终的结果是哪一个。
递推式：f[1]=0,f[n]=(f[n-1]+k)mod n
用数学归纳法证明。这样的复杂度为O(n),在ｎ比较大的情况下会ＴＬＥ。
第二种递推：ret=juse(n-n/k,k);if(ret<n%k) return (ret+n/k*k)%n;else return (ret+n/k*k+(ret-(n%k))/(k-1))%n;感性地理解一下，若这个ret小于n%k,则代表在求出f[n]时，中间的有缺掉的不影响答案，否则需要加上中间这些缺掉的。
1 #include<set> 2 #include<map> 3 #include<queue> 4 #include<stack> 5 #include<ctime> 6 #include<cmath> 7 #include<string> 8 #include<vector> 9 #include<cstdio> 10 #include<cstdlib> 11 #include<cstring> 12 #include<iostream> 13 #include<algorithm> 14 using namespace std; 15 int juse(int n,int k){ 16 if(n==1) return 0; 17 int ret=0; 18 if(n<k){ 19 for(int i=2;i<=n;i++) 20 ret=(ret+k)%i; 21 return ret; 22 } 23 ret=juse(n-n/k,k); 24 if(ret<n%k) return (ret+n/k*k)%n; 25 else return (ret+n/k*k+(ret-(n%k))/(k-1))%n; 26 } 27 int main() 28 { 29 freopen("!.in","r",stdin); 30 freopen("!.out","w",stdout); 31 int T,n,k; 32 scanf("%d",&T); 33 while(T){ 34 T--; 35 scanf("%d%d",&n,&k); 36 printf("%d ",juse(n,k)); 37 } 38 return 0; 39 }