【网络流24题】最小路径覆盖问题

P1524 - 【网络流24题】最小路径覆盖问题

Description

给定有向图G=(V,E)。设P是G的一个简单路（顶点不相交）的集合。如果V中每个顶点恰好在P的一条路上，则称P是G的一个路径覆盖。P中路径可以从V的任何一个顶点开始，长度也是任意的，特别地，可以为0。G的最小路径覆盖是G的所含路径条数最少的路径覆盖。
设计一个有效算法求一个有向无环图G的最小路径覆盖。

Input

第1行有2个正整数n和m。n是给定有向无环图G的顶点数，m是G的边数。
接下来的m行，每行有2个正整数i 和j，表示一条有向边(i,j)。

Output

第1行开始，每行输出一条（字典序）路径。最后一行是最少路径数。

Sample Input

11 12 1 2 1 3 1 4
2 5
3 6
4 7
5 8
6 9
7 10
8 11
9 11
10 11

Sample Output

1 4 7 10 11
2 5 8
3 6 9
3

Hint

数据范围：
1<=n<=150,1<=m<=6000
提示：
设V={1，2，... ，n}，构造网络G1=(V1,E1)如下：

每条边的容量均为1。求网络G1的(x0,y0)最大流。

Source

有向无环图最小路径覆盖，网络最大流
网络流，二分图

构建二分图，将一个点一分为二，Ａ部一个，Ｂ部一个，Ａ部代表前驱，Ｂ部代表后继。
将边连上，从Ａ部到Ｂ部，容量为一。
对于每一条路径，只能有一个入度为０的点和一个出度为０的点，所以路径数＝出度为０的点。
然后虚拟源点和汇点跑最大流，ｎ－最大流就是答案。

但是还要输出方案。
当最大流求出来后，整个图上不存在增广路。
考虑与汇点相连的那些点，在残余网络中，若汇点与某个点之间的返回流量<=0，
则说明这条边的流量为０，即这个点没有作为后继，所以这个点就可以作为路径的起点。
起点找出来后，就可以一直输出与起点相连的边，直到没有边相连，即这个点没有作为前驱，所以这个点为终点。

#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<string>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct data{
  int nex,to,w;
}e[20000];
int head[310],lev[310],edge=0,ans[310],n;
void add(int from,int to,int w){
  e[++edge].nex=head[from];
  e[edge].to=to;
  e[edge].w=w;
  head[from]=edge;
}
bool bfs(int s,int t){
  queue<int>q;
  memset(lev,0,sizeof(lev));
  q.push(s);lev[s]=1;
  while(!q.empty()){
    int u=q.front();
    q.pop();
    for(int i=head[u];i;i=e[i].nex)
      if(e[i].w>0 && !lev[e[i].to]){
    q.push(e[i].to);
    lev[e[i].to]=lev[u]+1;
    if(e[i].to==t) return 1;
      }
  }
  return 0;
}
int dfs(int s,int t,int k){
  if(s==t) return k;
  int tag=0;
  for(int i=head[s];i;i=e[i].nex)
    if(e[i].w>0 && lev[e[i].to]==lev[s]+1){
      int d=dfs(e[i].to,t,min(k-tag,e[i].w));
      e[i].w-=d;int op;
      if(i%2) op=1;else op=-1;
      e[i+op].w+=d;
      tag+=d;
      if(tag==k) return tag;
    }
  return tag;
}
int dinic(int s,int t){
  int flow=0;
  while(bfs(s,t)) flow+=dfs(s,t,1999999999);
  return flow;
}
void out(int x){
  if(x<=n && x>0) printf("%d ",x);
  else return;
  for(int i=head[x];i;i=e[i].nex)
    if(e[i].w<=0) out(e[i].to-n);
}
int main()
{
  freopen("!.in","r",stdin);
  freopen("!.out","w",stdout);
  int m,x,y;
  scanf("%d%d",&n,&m);int s=0,t=2*n+1;
  for(int i=1;i<=m;i++)
    scanf("%d%d",&x,&y),add(x,y+n,1),add(y+n,x,0);
  for(int i=1;i<=n;i++)
    add(s,i,1),add(i,s,0),add(i+n,t,1),add(t,i+n,0);
  int ans1=n-dinic(s,t);
  int kl=0;
  for(int i=head[t];i;i=e[i].nex)
    if(e[i].w<=0) ans[++kl]=e[i].to-n;
  sort(ans+1,ans+1+kl);
  for(int i=1;i<=kl;i++)
    out(ans[i]),printf("
");
  printf("%d",ans1);
  return 0;
}