本文转自:http://www.cnblogs.com/freewater/archive/2012/08/23/2652974.html
问题描述:
有一个没有排序,元素个数为2N的正整数数组。要求把它分割为元素个数为N的两个数组,并使两个子数组的和最接近。
解题思路:
假设数组A[1..2N]所有元素的和是SUM。模仿动态规划解0-1背包问题的策略,令S(k, i)表示前k个元素中任意i个元素的和的集合。显然:
S(k, 1) = {A[i] | 1<= i <= k}
S(k, k) = {A[1]+A[2]+…+A[k]}
S(k, i) = S(k-1, i) U {A[k] + x | x属于S(k-1, i-1) }
按照这个递推公式来计算,最后找出集合S(2N, N)中与SUM最接近的那个和,这便是答案。这个算法的时间复杂度是O(2^N).
因为这个过程中只关注和不大于SUM/2的那个子数组的和。所以集合中重复的和以及大于SUM/2的和都是没有意义的。把这些没有意义的和剔除掉,剩下的有意义的和的个数最多就是SUM/2个。所以,我们不需要记录S(2N,N)中都有哪些和,只需要从SUM/2到1遍历一次,逐个询问这个值是不是在S(2N,N)中出现,第一个出现的值就是答案。我们的程序不需要按照上述递推公式计算每个集合,只需要为每个集合设一个标志数组,标记SUM/2到1这个区间中的哪些值可以被计算出来。
代码:
1 #include<iostream> 2 using namespace std; 3 4 int arr[] = {0,1,5,7,8,9,6,3,11,20,17}; 5 const int N = 5; 6 const int Sum = 87; 7 8 // 模仿动态规划解0-1背包问题的策略 9 int solve1() 10 { 11 int i, j, s; 12 int dp[2*N+1][N+1][Sum/2+2]; 13 /* 14 用dp(i,j,c)来表示从前i个元素中取j个、且这j个元素之和不超过c的最佳(大)方案,在这里i>=j,c<=S 15 状态转移方程: 16 限第i个物品 不取 17 dp(i,j,c)=max{dp(i-1,j-1,c-a[i])+a[i],dp(i-1,j,c)} 18 dp(2N,N,SUM/2+1)就是题目的解。 19 */ 20 //初始化 21 memset(dp,0,sizeof(dp)); 22 for(i = 1 ; i <= 2*N ; ++i) 23 { 24 for(j = 1 ; j <= min(i,N) ; ++j) 25 { 26 for(s = Sum/2+1 ; s >= arr[i] ; --s) 27 { 28 dp[i][j][s] = max(dp[i-1][j-1][s-arr[i]]+arr[i] , dp[i-1][j][s]); 29 } 30 } 31 } 32 33 //因为这为最终答案 dp[2*N][N][SUM/2+1]; 34 i=2*N , j=N , s=Sum/2+1; 35 while(i > 0) 36 { 37 if(dp[i][j][s] == dp[i-1][j-1][s-arr[i]]+arr[i]) //判定这个状态是由哪个状态推导出来的 38 { 39 cout<<arr[i]<<" "; //取中arr[i] 40 j--; 41 s -= arr[i]; 42 } 43 i--; 44 } 45 cout<<endl; 46 return dp[2*N][N][Sum/2+1]; 47 } 48 49 int main(void) 50 { 51 int s1 = solve1(); 52 cout<<"s1="<<s1<<endl; 53 return 0; 54 }