什么是DLX?
让我们看看百度百科上的解释:在 计算机科学 中, Dancing Links ,舞蹈链, 也叫 DLX, 是由 Donald Knuth 提出的数据结构,目的是快速实现他的 X算法.X算法是一种递归算法,时间复杂度不确定, 深度优先, 通过回溯寻找精确覆盖问题所有可能的解。有一些著名的精确覆盖问题,包括铺砖块,八皇后问题,数独问题。X算法
概念
X算法用由0和1组成的矩阵A来表示精确覆盖问题,目标是选出矩阵的若干行,使得其中的1在所有列中出现且仅出现一次。(出自度娘)实现步骤
1.如果矩阵A为空(没有任何列),则当前局部解即为问题的一个解,返回成功;否则继续。 2.根据一定方法选择第c列。如果某一列中没有1,则返回失败,并去除当前局部解中最新加入的行。 3.选择第r行,使得A[r,c]=1(该步是不确定的)。 4.将第r行加入当前局部解中。 5.对于满足A[r,j]=1的每一列j,从矩阵A中删除所有满足A[i,j]=1的行,最后再删除第j列。 6.对所得比A小的新矩阵递归地执行此算法。图解
>例如有一个这样的矩阵A: $$ mathbf{A} = left( egin{array}{ccc} {0} & {0} & {1} & {0} & {1} & {1} & {0} \ {1} & {0} & {0} & {1} & {0} & {0} & {1} \ {0} & {1} & {1} & {0} & {0} & {1} & {0} \ {1} & {0} & {0} & {1} & {0} & {0} & {0} \ {0} & {1} & {0} & {0} & {0} & {0} & {1} \ {0} & {0} & {0} & {1} & {1} & {0} & {1} \ end{array} ight) $$ ps:例子引用自[grenet奆佬](http://www.cnblogs.com/grenet/p/3145800.html) 这个例子就包含了一个(1,4,5)的精确覆盖解。1.然后让我们人工模拟一遍X算法,好好体会体会:
最开始首先假定选择第一列:
那么对于第一行有1的列,即(3,5,6),可向下不断延伸,遇到有1的位置,就把该行标记:
2.这样就可以用A矩阵-B矩阵(即删除所标记的行和列),得到一个新的、小一点的矩阵A(即得到一个规模较小的精确覆盖问题):
3.那么根据1,又可进行一下操作:
先选第一列:
那么对于第一行有1的列,即(1,3,4),可向下不断延伸,遇到有1的位置,就把该行标记:
4.这样就可以用A矩阵-B矩阵(即删除所标记的行和列),又得到一个新的、小一点的矩阵A(即又得到一个规模较小的精确覆盖问题):
这个时候我们发现当前A矩阵不为空,也没有一列有1(既无法继续操作)
则这个时候说明之前走出了错误的一步,就需要我们回溯——
5.那么根据步骤就回溯到3:
这个时候就不能尝试第一行,那我们就标记第二行,并按照之前的方法扩展:
6.那么由4,同理我们可得:
那么继续上面的步骤,显然整个矩阵最后就可以被缩减完。
7.由此,我们就得到了那组解(1,4,5)
DLX算法
那为什么还要用DLX算法呢?直接用X算法不好吗?
根据我们刚才的运行过程,如果过程中有大量的回溯和标记过程,那我们如果用数组存储之前的信息,显然是不可能的,~妥妥的MLE没商量
这个时候我们就要隆重请出舞蹈链的X算法(即DLX)
舞蹈链怎样实现
舞蹈链,即为一个双向十字循环链表,**即每个点都与上下左右四个点连有一条双向指针** **(第一排的up指向最后一排,最后一排的down指向第一排;第一列的left指向最后一列,最后一列的right指向第一列)** **重点:因为是链表,所以我们需要一个初始节点来建表** >1.那么最开始初始化的时候,我们将第一行的指针指好: ```cpp template2.对输入矩阵扫描,对于有1的点进行插入操作:
这样我们就只在1与1之间建链,对于X算法中挨个挨个去扩展来找1就要快得多:
template<typename TP>inline void push(TP r,TP c)
{
U[++cnt]=c,D[cnt]=D[c];
U[D[c]]=cnt,D[c]=cnt;
row[cnt]=r,col[cnt]=c;
if(H[r]!=-1)
{
R[cnt]=R[H[r]],L[R[H[r]]]=cnt;
L[cnt]=H[r],R[H[r]]=cnt;
}
else H[r]=L[cnt]=R[cnt]=cnt;
return;
}
3.对于最关键的删除/回溯操作
因为只将有1的点加入链表,所以直接扫就行
值得一提的是,我们在删除的时候(就是从当前所选列扩展的时候),我们只是把"对应列"有1的行与整个链表“分开”,而这一行元素之间的关系并没有破坏,这样回溯的时候就相当容易,只需反着操作一遍即可。
代码如下:
//删除操作:
template<typename TP>inline void del(TP c)
{
L[R[c]]=L[c],R[L[c]]=R[c];
for(TP i=D[c];i!=c;i=D[i])
for(TP j=R[i];j!=i;j=R[j])
U[D[j]]=U[j],D[U[j]]=D[j];
return;
}
//回溯操作:
template<typename TP>inline void reback(TP c)
{
for(TP i=U[c];i!=c;i=U[i])
for(TP j=L[i];j!=i;j=L[j])
U[D[j]]=D[U[j]]=j;
L[R[c]]=R[L[c]]=c;
return;
}
4.接下来就是整个舞蹈链过程中最美的地方:
template<typename TP>inline bool dancing(TP dep)
{
if(R[0]==0)
{
tot=dep;
return true;
}
TP c=R[0];del(c);
for(TP i=D[c];i!=c;i=D[i])
{
ans[dep]=row[i];//记录答案
for(TP j=R[i];j!=i;j=R[j]) del(col[j]);
if(dancing(dep+1)) return true;
for(TP j=L[i];j!=i;j=L[j]) ret(col[j]);
}
ret(c); //这个地方一定要记得回溯!!
return false;
}
例题:
[LuoguP4929 【模板】舞蹈链(DLX)](https://www.luogu.org/problemnew/show/P4929) 完整代码(建议先自己写一遍再看): ```cpp #include优化
当然,如果你完全按照上面这么打一定会~TLE(~~hhh~~)这个地方还有一个优化,就是我们在"dancing"过程中,无论用什么方法选择列最终都可以得到解,但有的方法效率明显较高。
为减少迭代次数,我们可以每次都选取1最少的列。
进行这个操作我们只需再定义一个数组s[]
在"push“中加上这样一句:
++s[c];
将"del"部分改成:
U[D[j]]=U[j],D[U[j]]=D[j],--s[col[j]];
将"reback"部分改成:
U[D[j]]=D[U[j]]=j,++s[col[j]];
将"dancing"部分改成:
TP c=R[0];
for(TP i=c;i!=0;i=R[i]) if(s[i]<s[c]) c=i;
del(c);