前言
StoerWagner算法是一个找出无向图全局最小割的算法，本文需要读者有一定的图论基础。
本文大部分内容与词汇来自参考文献（英文，需科学上网），用兴趣的可以去读一下文献。
概念
- 无向图的割：有无向图(G=(V,E))，设(C)为图(G)中一些弧的集合，若从(G)中删去(C)中的所有弧能使图(G)不是连通图，称(C)图(G)的一个割。
- (S-T)割：使得顶点(S)与顶点(T)不再连通的割，称为(S-T)割
- (S-T)最小割：包含的弧的权和最小的(S-T)割，称为(S-T)最小割。
- 全局最小割：包含的弧的权和最小的割，称为全局最小割。
- 诱导割(induced cut)：令图(G=(V, E))的一个割为(C)，则割(C)在图(G)的子图(G'=(V',E'))中的部分称为割(C)的诱导割。（类似于概念诱导子图(induced subgraph)）
算法流程
大致流程
step1：在图(G)中找出任意(s-t)最小割cut-of-the-phase
step2：合并(s)、(t)，重复执行step1直到图G只剩下一个顶点
step3：输出最小的cut-of-the-phase为最终结果
伪代码：
def MinimumCutPhase(G, w, a):
A ← {a}
while A ≠ V:
把与A联系最紧密（most tightly）的顶点加入A中
cut-of-the-phase ← w(A t, t)
合并最后两个加入到A的顶点s、t
return cut-of-the-phase
def StoerWagner(G, w, a):
while |V| > 1
MinimumCutPhase(G, w, a)
根据返回值更新最小割
其中：
- (w)为边权函数，(w(e))为边(e)的权值大小
- (w(A, v))为顶点(v)到集合(A)的所有边权和
- (x)与(A)联系最紧密（most tightly）当且仅当(x otin A)且(w(A,x) = max{w(A, y) | y otin A})
- (a)可以取任意顶点作为算法的初始顶点
证明
首先，算法基于这样一个事实：
两个顶点s、t，要么在全局最小割的同一个集合中，要么在不同的集合中
那么结果便只可能在是(s-t)最小割，或者合并(s)、(t)的新图的全局最小割。
然后问题就在于如何寻找任意的(s-t)最小割。现在来证明MinimumCutPhase找出来的(s-t)割cut-of-the-phase为什么是最小的。
定理：每个阶段割(cut-of-the-phase)是当前图的(s-t)最小割，(s)、(t)是当前阶段最后加入的结点。
证明：
以加入集合(A)的顺序组成一个序列，以(a)为开始，以(s)、(t)结束。然后来证明对于任意(s-t)割(C)均不小于阶段割(cut-of-the-phase)
我们称结点(v)((v
eq a))是活跃的(active)当(v)和(v)的前一个结点分立于C的两边。令(w(C))为割C的大小，(A_v)为所有在(v)前面的顶点（不包括(v)），(C_v)为(A_v igcup {v})的(C)割，(w(C_v))为诱导割(C_v)的大小。
那么，对于所有活跃的顶点v，有
归纳证明:
对于第一个活跃顶点(v_0)，该不等式以等号成立。这是由于(v_0)前面的点都非活跃点，那么它们都在割C的同一侧，另一侧为(v_0)，显然有(w(A_{v_0},v_0) = w(C_{v_0}))。
假设对于活跃顶点(v)，(v)满足不等式。令(u)为(v)的下一个活跃顶点，那么我们令：
由于(v)加入(A)比(u)早，所以有(w(A_v,u) leq w(A_v,v))。又因(v)满足不等式，所以有
由于所有 (A_u setminus A_v) 与(u)之间的边均跨过割(C_u)，且不是(C_v)的一部分，于是有
联立上式，得到：
于是对于任意活跃顶点，均满足不等式((1))。
由于(t)总是活跃顶点（(s-t)割导致(s)与(t)总被割开），则(t)总是满足不等式(w(A_t,t) leq
w(C_t))，即任意割小于等于(w(A_t,t))。又因为(w(A_t,t))为单独割掉顶点(t)的大小（链接(t)的所有边权和），所以有(w(A_t,t))为(s-t)最小割。证得MinimumCutPhase找出来的(s-t)割是(s-t)最小割。
例题
HDU 3691 Nubulsa Expo（全局最小割Stoer-Wagner算法）
HDU 6081 度度熊的王国战略（全局最小割Stoer-Wagner算法）