题意
有一个长度为 (n) 的数列 (a)，有 (m) 个 操作，每个操作是给 (a[l_i,r_i]) 中的数都加一，一个操作有 (p_i) 的概率执行（否则不执行）。一个性质是任意两个区间不相交或完全包含（可重叠）。问执行完所有操作后 (a) 中最大值的期望。
(nle 10^5,mle 5000,ale 10^9) 。
分析
想象一下多个不相交或完全包含的区间，他们的结构其实是一棵树。外层为父亲，内层为儿子。
要计算的是最大值的期望，而这个最大值是由多个操作得到的，所以无法分别计算期望再合并。解决这个问题的方法是先算出概率，再得到期望。
到最后，一个区间 ([l,r]) 的最大值只可能是 ([mx,mx+q]) 中的数（(mx) 为原序列中这个区间的最大值）。那么那么我们可以用这个东西来 dp。
设 (f[x][j]) 表示 (x) 点子树中的操作结束后，(x) 点表示的这个区间的最大值小于等于 (mx_x+j) 的概率。这样设计是因为若是等于的话，计算的时候转移还是要求前缀和，相当于是小于等于了。若 (x) 这个操作不执行，那么从子树 (v) 转移，子树 (v) 需要让其最后的区间最大值小于等于 (mx_x+j) ；若执行，那么子树的需要让其区间最大值小于等于 (mx_i+j-1) 。因此有转移
[f[x][j]=p_xprod f[v][mx_x+j-1-mx_v]+(1-p_x)prod f[v][mx_x+j-mx_v]
]
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxq=5e3+5;
const int maxm=1e4+5;
const int maxn=1e5+1;
int n,a[maxn],m,M,mx;
inline void Max(int &x,int y) {x=max(x,y);}
struct Q {
int l,r,mx;
double p;
inline bool operator < (const Q &b) const {return l!=b.l?l<b.l:r>b.r;}
} q[maxq];
namespace rmq {
const int maxj=17;
int f[maxn][maxj],bin[maxn];
void build() {
for (int i=2;i<=n;++i) bin[i]=bin[i>>1]+1;
for (int i=1;i<=n;++i) f[i][0]=a[i];
for (int j=1;j<maxj;++j) for (int i=1;i<=n;++i) {
int x=i+(1<<(j-1));
f[i][j]=f[i][j-1];
if (x<=n && f[x][j-1]>f[i][j]) f[i][j]=f[x][j-1];
}
}
inline int query(int l,int r) {
int x=bin[r-l+1];
return max(f[l][x],f[r-(1<<x)+1][x]);
}
}
namespace tree {
vector<int> g[maxq];
double f[maxq][maxm];
inline void add(int x,int y) {g[x].push_back(y);}
void build() {
sort(q+1,q+m+1);
static int sta[maxq],top;
q[sta[top=0]=0]=(Q){1,n,min(mx,m),0};
for (int i=1;i<=m;++i) {
Q &p=q[i];
for (;top>0 && p.l>q[sta[top]].r;--top) add(sta[top-1],sta[top]);
sta[++top]=i;
}
for (;top;--top) add(sta[top-1],sta[top]);
}
void dfs(int x) {
if (g[x].empty()) {
f[x][0]=1-q[x].p;
for (int i=1;i<=M;++i) f[x][i]=1;
return;
}
for (const int &v:g[x]) dfs(v);
for (int j=0;j<=m;++j) {
double fir=j?q[x].p:0,sec=1-q[x].p;
for (const int &v:g[x]) {
int the=q[x].mx-q[v].mx+j;
fir*=f[v][the-1];
sec*=f[v][the];
}
f[x][j]=fir+sec;
}
for (int j=m+1;j<=M;++j) f[x][j]=f[x][j-1];
}
double calc() {
double ret=mx;
for (int i=1;i<=m;++i) ret+=(f[0][i]-f[0][i-1])*i;
return ret;
}
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("test.in","r",stdin);
#endif
scanf("%d%d",&n,&m),M=m<<1;
for (int i=1;i<=n;++i) {
scanf("%d",a+i);
Max(mx,a[i]);
}
if (mx>m) for (int i=1;i<=n;++i) a[i]=max(0,a[i]+m-mx);
rmq::build();
for (int i=1;i<=m;++i) {
scanf("%d%d%lf",&q[i].l,&q[i].r,&q[i].p);
q[i].mx=rmq::query(q[i].l,q[i].r);
}
tree::build();
tree::dfs(0);
double ans=tree::calc();
printf("%.10lf
",ans);
return 0;
}