题意
给出两个长度为 (n) 的数列 (a,b) ，(2n) 个数都互不相同，求有多少种对应方式使得 (a_i>b_i) 的个数比 (a_i<b_i) 的个数恰好多 (k) 。(nle 2000) 。
分析
容易把问题转化成有多少种对应方案使得 (a_i>b_i) 的个数恰好多 (m) 。这是一个序列上的计数问题，一种经典的思路是分阶段考虑。
首先给 (a) 排序，预处理出 (b) 中有多少个数比 (a_i) 小，记为cnt[i] 。分阶段考虑，设 f[i][j] 表示给 (a) 的前 (i) 个分配 (j) 个小于它们的的方案数。那么有转移：
[f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1]*(cnt[i]-(j-1))
]
除了这 (j) 个以外其他是随便选的。这就导致了计算重复，所以我们考虑如何减去重复。设 (g_i) 表示整个对应中恰好有 (i) 个小于它们的，那么有：
[g[i]=f[n][i](n-i)!-重复
]
这里最妙的方法是，重复我们反过来求。重复的是什么呢？就是随便匹配的过程中得到的那些 (a_i>b_i) 的方案。这些方案在 (g[k],k>i) 中是包含的！！(g_k) 中每一个方案被 (f[n][i]) 算多了 (inom k i) 次.
[g[i]=f[n][i](n-i)!-sum _{i<kle n}inom k ig[k]
]
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long giant;
inline char nchar() {
static const int bufl=1<<20;
static char buf[bufl],*a,*b;
return a==b && (b=(a=buf)+fread(buf,1,bufl,stdin),a==b)?EOF:*a++;
}
inline int read() {
int x=0,f=1;
char c=nchar();
for (;!isdigit(c);c=nchar()) if (c=='-') f=-1;
for (;isdigit(c);c=nchar()) x=x*10+c-'0';
return x*f;
}
const int maxn=2e3+1;
const int q=1e9+9;
inline int Plus(int x,int y) {return ((giant)x+(giant)y)%q;}
inline int Sub(int x,int y) {return Plus(x,q-y);}
inline int Multi(int x,int y) {return (giant)x*y%q;}
inline int mi(int x,int y) {
int ret=1;
for (;y;y>>=1,x=Multi(x,x)) if (y&1) ret=Multi(ret,x);
return ret;
}
inline int inv(int x) {return mi(x,q-2);}
int a[maxn],b[maxn],f[maxn],g[maxn],le[maxn],fac[maxn],ifac[maxn];
inline int C(int n,int m) {return Multi(Multi(fac[n],ifac[m]),ifac[n-m]);}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("test.in","r",stdin);
#endif
int n=read();
int k=read();
if ((n+k)&1) puts("0"),exit(0);
fac[0]=ifac[0]=fac[1]=ifac[1]=1;;
for (int i=2;i<=n;++i) ifac[i]=inv(fac[i]=Multi(fac[i-1],i));
for (int i=1;i<=n;++i) a[i]=read();
for (int i=1;i<=n;++i) b[i]=read();
sort(a+1,a+n+1),sort(b+1,b+n+1);
for (int i=1,j=0;i<=n;++i) {
for (;j<n && b[j+1]<a[i];++j);
le[i]=j;
}
f[0]=1;
for (int i=1;i<=n;++i) for (int j=i;j;--j) f[j]=Plus(f[j],Multi(f[j-1],max(le[i]-j+1,0)));
g[n]=f[n];
for (int i=n-1;i;--i) {
int &gi=g[i]=0;
for (int j=i+1;j<=n;++j) gi=Plus(gi,Multi(g[j],C(j,i)));
gi=Sub(Multi(f[i],fac[n-i]),gi);
}
printf("%d
",g[(n+k)>>1]);
return 0;
}