[学习笔记]虚树

模板：（树剖(LCA)+建虚树）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100000+10;
int n,m,dp[maxn],vis[maxn],h[maxn],sta[maxn],Top;
int fir[maxn],head[maxn],to[maxn<<1],nxt[maxn<<1],tot,cnt;
int top[maxn],dep[maxn],id[maxn],siz[maxn],son[maxn],fa[maxn],tim;

struct node{
    int to,next;
}e[maxn<<1];

inline int read(){
    register int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return (f==1)?x:-x;
}
inline void add(int x,int y){
    e[++tot].to=y;
    e[tot].next=head[x];
    head[x]=tot;
}
inline void addedge(int x,int y){
    to[++cnt]=y;
    nxt[cnt]=fir[x];
    fir[x]=cnt;
}

void dfs1(int x,int f){
    siz[x]=1;fa[x]=f;
    dep[x]=dep[f]+1;
    int maxson=-1;
    for(int i=head[x],y;i;i=e[i].next){
        y=e[i].to;
        if(y==f) continue;
        dfs1(y,x);
        siz[x]+=siz[y];
        if(maxson<siz[y]){
            maxson=siz[y];
            son[x]=y;
        }
    }
}

void dfs2(int x,int topf){
    id[x]=++tim;
    top[x]=topf;
    if(son[x]) dfs2(son[x],topf);
    for(int i=head[x],y;i;i=e[i].next){
        y=e[i].to;
        if(y==fa[x]||y==son[x]) continue;
        dfs2(y,y);
    }
}

int LCA(int x,int y){
    while(top[x]!=top[y]){
        if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
        x=fa[top[x]];
    }
    if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
    return x;
}

bool cmp(int a,int b){
	return id[a]<id[b];
}

int main()
{
    n=read();
    int x,y,w,k,lca;
    for(int i=1;i<n;i++){
        x=read(),y=read();
        add(x,y);add(y,x);
    }
    dfs1(1,0);dfs2(1,1);
    m=read();
    for(int t=1;t<=m;t++){
        k=read();
        for(int i=1;i<=k;i++){
        	h[i]=read();
        	vis[h[i]]=1;
		}
		sort(h+1,h+k+1,cmp);
		cnt=0;sta[Top=1]=1;
		for(int i=1;i<=k;i++){
			lca=LCA(sta[Top],h[i]);
			while(dep[lca]<dep[sta[Top]]){
				if(dep[sta[Top-1]]<=dep[lca]){
					addedge(lca,sta[Top--]);
					if(sta[Top]!=lca) sta[++Top]=lca;
					break;
				}
				addedge(sta[Top-1],sta[Top]);
				Top--;
			}
			if(sta[Top]!=h[i]) sta[++Top]=h[i];
		}
		while(--Top) addedge(sta[Top],sta[Top+1]);
		for(int i=1;i<=k;i++) vis[h[i]]=0;
    }
    return 0;
}

具体建虚树怎么建可以看别人的博客……我讲的肯定没有它们好

1、[SDOI2011]消耗战

分析：人生第一道虚树题。

难的就是建一棵虚树，然后在虚树上树形 (dp)

首先，打出一个树上前缀最小值。因为无论怎样，选一条最小的边断掉一定是最优的。建一棵虚树，若遍历到选定的点 (x)，那么 (dp[x]=min(dis[x],sum_{sonin x}val_{x->son}))，其中 (val) 为边权。

(Code Below:)

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int maxn=250000+10;
const int inf=1e18;
int n,m,dp[maxn],dis[maxn],vis[maxn],h[maxn],sta[maxn],Top;
int fir[maxn],head[maxn],to[maxn<<1],nxt[maxn<<1],tot,cnt;
int top[maxn],dep[maxn],id[maxn],siz[maxn],son[maxn],fa[maxn],tim;

struct node{
	int to,next,val;
}e[maxn<<1];

inline int read(){
	register int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
	return (f==1)?x:-x;
}
inline void add(int x,int y,int w){
	e[++tot].to=y;
	e[tot].val=w;
	e[tot].next=head[x];
	head[x]=tot;
}
inline void addedge(int x,int y){
	to[++cnt]=y;
	nxt[cnt]=fir[x];
	fir[x]=cnt;
}

void dfs1(int x,int f){
	siz[x]=1;fa[x]=f;
	dep[x]=dep[f]+1;
	int maxson=-1;
	for(int i=head[x],y;i;i=e[i].next){
		y=e[i].to;
		if(y==f) continue;
		dis[y]=min(dis[x],e[i].val);
		dfs1(y,x);
		siz[x]+=siz[y];
		if(maxson<siz[y]){
			maxson=siz[y];
			son[x]=y;
		}
	}
}

void dfs2(int x,int topf){
	id[x]=++tim;
	top[x]=topf;
	if(son[x]) dfs2(son[x],topf);
	for(int i=head[x],y;i;i=e[i].next){
		y=e[i].to;
		if(y==fa[x]||y==son[x]) continue;
		dfs2(y,y);
	}
}

int LCA(int x,int y){
	while(top[x]!=top[y]){
		if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
		x=fa[top[x]];
	}
	if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
	return x;
}

bool cmp(int a,int b){
	return id[a]<id[b];
}

void dfs(int x,int flag){
	dp[x]=dis[x];
	if(flag){
		for(int i=fir[x];i;i=nxt[i])
			dfs(to[i],flag);
		fir[x]=vis[x]=0;
		return ;
	}
	int val=0;
	for(int i=fir[x],y;i;i=nxt[i]){
		y=to[i];
		dfs(y,vis[y]);
		val+=dp[y];
	}
	if(!fir[x]||vis[x]) val=inf;
	dp[x]=min(dp[x],val);
	fir[x]=vis[x]=0;
}

signed main()
{
	n=read();
	int x,y,w,k,lca;
	for(int i=1;i<n;i++){
		x=read(),y=read(),w=read();
		add(x,y,w);add(y,x,w);
	}
	dis[1]=inf;
	dfs1(1,0);dfs2(1,1);
	m=read();
	for(int t=1;t<=m;t++){
		k=read();
		for(int i=1;i<=k;i++){
			h[i]=read();
			vis[h[i]]=1;
		}
		sort(h+1,h+k+1,cmp);
		cnt=0;
		sta[Top=1]=1;
		for(int i=1;i<=k;i++){
			lca=LCA(sta[Top],h[i]);
			while(dep[lca]<dep[sta[Top]]){
				if(dep[sta[Top-1]]<=dep[lca]){
					addedge(lca,sta[Top]);
					if(lca!=sta[--Top]) sta[++Top]=lca;
					break;
				}
				addedge(sta[Top-1],sta[Top]);
				Top--;
			}
			if(sta[Top]!=h[i]) sta[++Top]=h[i];
		}
		while(--Top) addedge(sta[Top],sta[Top+1]);
		dfs(1,0);
		printf("%lld
",dp[1]);
	}
	return 0;
}

2、[HEOI2014]大工程

分析：这道题自己推的，很有成就感哈哈哈

方法与上题一样，不过多一点细节

(sub[x]) 表示在虚树上 (x) 的子树内有多少个选定点

这些点对 ((x,y)) 对答案的贡献要分两类讨论：

1、(x=lca(x,y)) ，那么直接在 (vis[x]=1) 的时候算掉

2、(x,y) 在两棵不同的子树内，那就一边更新 (sub[x]) 一边算

void dfs(int x){
    int now=0;
    for(int i=fir[x];i;i=nxt[i]){
        dfs(to[i]);
        now+=sub[x]*sub[to[i]];
        sub[x]+=sub[to[i]];
        sub[to[i]]=0;
    }
    ans-=2*now*dep[x];
    if(vis[x]) ans-=2*sub[x]*dep[x],sub[x]++;
}

找最小边权就是记录一下最小值和次小值，然后更新 (ans)

找最大边权同个道理

int dfs_min(int x){
	int Min=inf,sec=inf;
	for(int i=fir[x];i;i=nxt[i]){
		sec=min(sec,dfs_min(to[i]));
		if(Min>sec) swap(Min,sec);
	}
	if(vis[x]&&Min!=inf) ans=min(ans,Min-dep[x]);
	if(Min!=inf&&sec!=inf) ans=min(ans,Min+sec-2*dep[x]);
	if(vis[x]) Min=dep[x];
	return Min;
}

int dfs_max(int x){
	int Max=-inf,sec=-inf;
	for(int i=fir[x];i;i=nxt[i]){
		sec=max(sec,dfs_max(to[i]));
		if(Max<sec) swap(Max,sec);
	}
	if(vis[x]&&Max!=-inf) ans=max(ans,Max-dep[x]);
	if(Max!=-inf&&sec!=-inf) ans=max(ans,Max+sec-2*dep[x]);
	if(vis[x]&&Max==-inf) Max=dep[x];
	fir[x]=0;
	return Max;
}

那个前式链向星数组 (fir[x]) 一定要在 (dfsmax()) 的时候清空！！！

(Code Below:)

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int maxn=1000000+10;
const int inf=1e18;
int n,m,dp[maxn],vis[maxn],h[maxn],sub[maxn],sta[maxn],Top;
int fir[maxn],head[maxn],to[maxn<<1],nxt[maxn<<1],tot,cnt;
int top[maxn],dep[maxn],id[maxn],siz[maxn],son[maxn],fa[maxn],tim,ans;

struct node{
    int to,next;
}e[maxn<<1];

inline int read(){
    register int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return (f==1)?x:-x;
}
inline void add(int x,int y){
    e[++tot].to=y;
    e[tot].next=head[x];
    head[x]=tot;
}
inline void addedge(int x,int y){
    to[++cnt]=y;
    nxt[cnt]=fir[x];
    fir[x]=cnt;
}

void dfs1(int x,int f){
    siz[x]=1;fa[x]=f;
    dep[x]=dep[f]+1;
    int maxson=-1;
    for(int i=head[x],y;i;i=e[i].next){
        y=e[i].to;
        if(y==f) continue;
        dfs1(y,x);
        siz[x]+=siz[y];
        if(maxson<siz[y]){
            maxson=siz[y];
            son[x]=y;
        }
    }
}

void dfs2(int x,int topf){
    id[x]=++tim;
    top[x]=topf;
    if(son[x]) dfs2(son[x],topf);
    for(int i=head[x],y;i;i=e[i].next){
        y=e[i].to;
        if(y==fa[x]||y==son[x]) continue;
        dfs2(y,y);
    }
}

int LCA(int x,int y){
    while(top[x]!=top[y]){
        if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
        x=fa[top[x]];
    }
    if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
    return x;
}

bool cmp(int a,int b){
	return id[a]<id[b];
}

void dfs(int x){
	int now=0;
	for(int i=fir[x];i;i=nxt[i]){
		dfs(to[i]);
		now+=sub[x]*sub[to[i]];
		sub[x]+=sub[to[i]];
		sub[to[i]]=0;
	}
	ans-=2*now*dep[x];
	if(vis[x]) ans-=2*sub[x]*dep[x],sub[x]++;
	//printf("x=%lld,now=%lld,ans=%lld,sub[x]=%lld,dep[x]=%lld
",x,now,ans,sub[x],dep[x]);
}

int dfs_min(int x){
	int Min=inf,sec=inf;
	for(int i=fir[x];i;i=nxt[i]){
		sec=min(sec,dfs_min(to[i]));
		if(Min>sec) swap(Min,sec);
	}
	if(vis[x]&&Min!=inf) ans=min(ans,Min-dep[x]);
	if(Min!=inf&&sec!=inf) ans=min(ans,Min+sec-2*dep[x]);
	if(vis[x]) Min=dep[x];
	return Min;
}

int dfs_max(int x){
	int Max=-inf,sec=-inf;
	for(int i=fir[x];i;i=nxt[i]){
		sec=max(sec,dfs_max(to[i]));
		if(Max<sec) swap(Max,sec);
	}
	if(vis[x]&&Max!=-inf) ans=max(ans,Max-dep[x]);
	if(Max!=-inf&&sec!=-inf) ans=max(ans,Max+sec-2*dep[x]);
	if(vis[x]&&Max==-inf) Max=dep[x];
	fir[x]=0;
	return Max;
}

signed main()
{
    n=read();
    int x,y,w,k,lca;
    for(int i=1;i<n;i++){
        x=read(),y=read();
        add(x,y);add(y,x);
    }
    dfs1(1,0);dfs2(1,1);
    m=read();
    for(int t=1;t<=m;t++){
        k=read();
        for(int i=1;i<=k;i++){
        	h[i]=read();
        	vis[h[i]]=1;
		}
		if(k==1){
			printf("0 0 0
");
			continue;
		}
		sort(h+1,h+k+1,cmp);
		cnt=0;sta[Top=1]=1;
		for(int i=1;i<=k;i++){
			lca=LCA(sta[Top],h[i]);
			while(dep[lca]<dep[sta[Top]]){
				if(dep[sta[Top-1]]<=dep[lca]){
					addedge(lca,sta[Top--]);
					if(sta[Top]!=lca) sta[++Top]=lca;
					break;
				}
				addedge(sta[Top-1],sta[Top]);
				Top--;
			}
			if(sta[Top]!=h[i]) sta[++Top]=h[i];
		}
		while(--Top) addedge(sta[Top],sta[Top+1]);
		ans=0;
		for(int i=1;i<=k;i++) ans+=(k-1)*dep[h[i]];
		dfs(1);sub[1]=0;
		printf("%lld ",ans);
		ans=inf;dfs_min(1);
		printf("%lld ",ans);
		ans=-inf;dfs_max(1);
		printf("%lld
",ans);
		for(int i=1;i<=k;i++) vis[h[i]]=0;
    }
    return 0;
}

3、CF613D Kingdom and its Cities

分析：在虚树上树形 (dp) 的时候分三种情况：

(P.S:sum) 表示有多少个儿子已经选了

1、(vis[x]=1)，那么不能选 (x) 来断掉儿子的退路，那么 (dp[x]=sum_{sonin x} dp[son])

2、(vis[x]=0,sum>1)，那就直接选 (x)，(x) 的子树已经被 (x) 封死了

3、(vis[x]=0,sumleq 1)，那就传到 (x) 的父亲上，让 (x) 的父亲解决好了

(Code Below:)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100000+10;
int n,m,dp[maxn],vis[maxn],h[maxn],sta[maxn],Top;
int fir[maxn],head[maxn],to[maxn<<1],nxt[maxn<<1],tot,cnt;
int top[maxn],dep[maxn],id[maxn],siz[maxn],son[maxn],fa[maxn],tim;

struct node{
    int to,next;
}e[maxn<<1];

inline int read(){
    register int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return (f==1)?x:-x;
}
inline void add(int x,int y){
    e[++tot].to=y;
    e[tot].next=head[x];
    head[x]=tot;
}
inline void addedge(int x,int y){
    to[++cnt]=y;
    nxt[cnt]=fir[x];
    fir[x]=cnt;
}

void dfs1(int x,int f){
    siz[x]=1;fa[x]=f;
    dep[x]=dep[f]+1;
    int maxson=-1;
    for(int i=head[x],y;i;i=e[i].next){
        y=e[i].to;
        if(y==f) continue;
        dfs1(y,x);
        siz[x]+=siz[y];
        if(maxson<siz[y]){
            maxson=siz[y];
            son[x]=y;
        }
    }
}

void dfs2(int x,int topf){
    id[x]=++tim;
    top[x]=topf;
    if(son[x]) dfs2(son[x],topf);
    for(int i=head[x],y;i;i=e[i].next){
        y=e[i].to;
        if(y==fa[x]||y==son[x]) continue;
        dfs2(y,y);
    }
}

int LCA(int x,int y){
    while(top[x]!=top[y]){
        if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
        x=fa[top[x]];
    }
    if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
    return x;
}

bool cmp(int a,int b){
	return id[a]<id[b];
}

int dfs(int x){
	int ans=0,sum=0;
	for(int i=fir[x];i;i=nxt[i])
		ans+=dfs(to[i]),sum+=dp[to[i]];
	if(vis[x]) dp[x]=1,ans+=sum;
	else if(sum>1) dp[x]=0,ans++;
	else dp[x]=sum;
	fir[x]=0;
	return ans;
}

int main()
{
    n=read();
    int x,y,w,k,lca,flag;
    for(int i=1;i<n;i++){
        x=read(),y=read();
        add(x,y);add(y,x);
    }
    dfs1(1,0);dfs2(1,1);
    m=read();
    for(int t=1;t<=m;t++){
        k=read();
        for(int i=1;i<=k;i++){
        	h[i]=read();
        	vis[h[i]]=1;
		}
		flag=0;
		for(int i=1;i<=k;i++)
			flag|=vis[fa[h[i]]];
		if(flag){
			printf("-1
");
			for(int i=1;i<=k;i++) vis[h[i]]=0;
			continue;
		}
		sort(h+1,h+k+1,cmp);
		cnt=0;sta[Top=1]=1;
		for(int i=1;i<=k;i++){
			lca=LCA(sta[Top],h[i]);
			while(dep[lca]<dep[sta[Top]]){
				if(dep[sta[Top-1]]<=dep[lca]){
					addedge(lca,sta[Top--]);
					if(sta[Top]!=lca) sta[++Top]=lca;
					break;
				}
				addedge(sta[Top-1],sta[Top]);
				Top--;
			}
			if(sta[Top]!=h[i]) sta[++Top]=h[i];
		}
		while(--Top) addedge(sta[Top],sta[Top+1]);
		printf("%d
",dfs(1));
		for(int i=1;i<=k;i++) vis[h[i]]=0;
    }
    return 0;
}