数据结构与算法分析（一）——查找前k个最小值

 好久没有写博客了，这一段时间主要在准备为将来找工作复习，今天我就总结一下关于如何查找数组的前K个最小值实现方法，查找前K个最小值实现方法很多，主要的思想包括如下的几种：

    1、对数组进行排序，然后前K个元素就是需要查找的元素，排序的方法可以采用快速排序，但是我们知道在快速排序中如果已经是有序的数组，采用快速排序的时间复杂度是O(N^2),为了解决这种问题，通常选择随机选择一个数组值pivot作为基准，将数组分为S1 =< pivot和S2 > pivot，这样就能避免快速排序中存在的问题，或者采用随机选择三个元素，然后取中间值作为基准就能避免快速算法的最差时间复杂度，这种方法的前K个数字是有序的。

 

    2、既然是选择前K个对象，那么就没必要对所有的对象进行排序，可以采用快速选择的思想获得前K个对象，比如首先采用快速排序的集合划分方法划分集合：S1，pivot，S2，然后比较K是否小于S1的个数，如何小于，则直接对S1进行快速排序，如果K的个数超过S1,那么对S2进行快速排序，排序完成之后，取数组的前K个元素就是数组的前K个最小值。这种实现方法肯定比第一种的全快速排序要更快速。

 

    3、将数组转换为最小堆的情况，根据最小堆的特性，第一个元素肯定就是数组中的最小值，这时候我们可以将元素保存起来，然后将最后一个元素提升到第一个元素，重新构建最小堆，这样进行K次的最小堆创建，就找到了前K个最小值，这是运用了最小堆的特性，实质上是最小堆的删除实现方法。这种算法的好处是实现了数组的原地排序，并不需要额外的内存空间。

 

    4、接下来的这种思想有点类似桶排序，首先给定一个K个大小的数组b，然后复制数组a中的前K个数到数组b中，将这K个数当成数组a的前K个最小值，对数组b创建最大堆，这时候再次比较数组a中的其他元素，如果其他元素小于数组b的最大值（堆顶），则将堆顶的值进行替换，并重新创建最大堆。这样遍历一次数组就找到了前K个最小元素。这种方法运用了额外的内存空间，特别当选择的K值比较大时，这种方法有待于权衡一下。

    这种方法对于海量数据来说是有较好的作用，对于海量数据不能全部存放在内存中，这时候创建一个较小的数组空间，然后创建最大堆，从硬盘中读取其他的数据，进而实现前K个数据的查找。

 

    这是比较传统的几种方法，当然还存在其他的选择方式，我在这边就不阐述了，从上面几种方法的可知，查找方法都充分运用了运用了数据结构和算法的特性。因此数据结构的灵活运用对算法的实现有很多的好处。

 

下面是我的实现代码，数组中前K个元素我通过打印的方式实现，并没有保存到新的数组中： 

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<assert.h>
#include<time.h>
#define LEN 500000
#define K 100
/*堆的性质*/
#define LEFTSON(i) (2*(i)+1)
#define RIGHTSON(i) (2*((i)+1))
#define PARENT(i) (((i)-1)/2)
void swap(int *a, int *b)
{
        assert(a != NULL && b != NULL);
        if(a != b)
        {
                *a = *a ^ *b;
                *b = *a ^ *b;
                *a = *a ^ *b;
        }
}
int partition(int *a, int left, int right)
{
        int pivot = a[right];
        int i = left;
        int j = left - 1;
        assert(a != NULL);
        for(i = left; i < right; ++ i)
        {
                if(a[i] < pivot)
                {
                        ++ j;
                        swap(&a[i],&a[j]);
                }
        }
        swap(&a[j + 1],&a[right]);
        return (j + 1);
}
void quicksort(int *a, int left, int right)
{
        int i = 0;
        assert(a != NULL);
        if(left < right)
        {
                i = partition(a,left,right);
                quicksort(a, left, i - 1);
                quicksort(a, i + 1, right);
        }
}
int QuickSort(int *a, int size)
{
        assert(a != NULL);
        quicksort(a,0,size-1);
}
void quickselect(int *a, int left, int right, int k)
{
        int i = 0;
        assert(a != NULL && left <= k
                && left <= right && k <= right);
        if(left < right)
        {
                i = partition(a, left, right);
                if(i + 1 <= k)
                        quickselect(a, i + 1 , right, k);
                else if(i > k)
                        quickselect(a, left, i - 1, k);
        }
}
void QuickSelect(int *a, int size, int k)
{
        assert(a != NULL);
        quickselect(a, 0, size - 1, k);
}
/*最大堆*/
void max_heapify(int *a, int left, int right)
{
        int tmp = 0;
        int child = left;
        int parent = left;
        assert(a != NULL);
        for(tmp = a[parent]; LEFTSON(parent) <= right;parent = child)
        {
                child = LEFTSON(parent);
                if(child != right && a[child] < a[child + 1])
                        child ++;
                if(tmp < a[child])
                        a[parent] = a[child];
                else /*满足最大堆的特性，直接退出*/
                        break;
        }
        a[parent] = tmp;
}
/*创建最大堆*/
void build_maxheap(int *a, int size)
{
        int i = 0;
        assert(a != NULL);
        for(i = PARENT(size); i >= 0 ; -- i)
                max_heapify(a,i,size - 1);
}
/*最小堆的实现*/
void min_heapify(int *a, int left, int right)
{
        int child = 0;
        int tmp = 0;
        int parent = left;
        assert(a != NULL);
        for(tmp = a[parent]; LEFTSON(parent) <= right; parent = child)
        {
                child = LEFTSON(parent);
                if(child != parent && a[child] > a[child + 1])
                        child ++;
                if(a[child] < tmp)
                        a[parent] = a[child];
                else /*满足最小堆的特性，直接退出*/
                        break;
        }
        a[parent] = tmp;
}
/*创建最小堆*/
void build_minheap(int *a, int size)
{
        int i = PARENT(size);
        assert(a != NULL);
        for(; i >= 0; -- i)
                min_heapify(a, i, size - 1);
}
/*采用快速排序查找*/
void find_Kmin_num_1(int *a , int size, int k)
{
        int i = 0;
        assert(a != NULL);
        QuickSort(a, size);
#if 0
        for(i = 0; i < k ; ++ i)
                printf("%d	",a[i]);
        printf("
");
#endif
}
/*采用快速选择实现*/
void find_Kmin_num_2(int *a, int size, int k)
{
        int i = 0;
        assert(a != NULL);
        QuickSelect(a, size, k);
#if 0
        for(i = 0; i < k ; ++ i)
                printf("%d	",a[i]);
        printf("
");
#endif
}
/*采用最大堆实现*/
void find_Kmin_num_3(int *a, int size, int k)
{
        int i = 0;
        int *b = malloc(sizeof(int)*k);
        assert(a != NULL && b != NULL);
        for(i = 0; i < k; ++ i)
                b[i] = a[i];
        build_maxheap(b,k);
        for(; i < size; ++ i)
        {
                if(a[i] < b[0])
                {
                        b[0] = a[i];
// build_maxheap(b , k);
                        max_heapify(b,0,k - 1);
                }
        }
#if 0
        for(i = 0; i < k ; ++ i)
                printf("%d	",b[i]);
        printf("
");
#endif
}
/*采用最小堆删除元素的方式实现*/
void find_Kmin_num_4(int *a ,int size, int k)
{
        int i = 0;
        assert(a != NULL);
        build_minheap(a, size - 1);
        for(i = 0; i < k; ++ i)
        {
// printf("%d	",a[0]);
                /*删除a[0]，释放a[size - 1 - i]*/
                a[0] = a[size -1 - i];
                min_heapify(a, 0, size - 2 - i);
        }
// printf("
");
}
int main()
{
        int a[LEN];
        int b[LEN];
        int c[LEN];
        int d[LEN];
        int i = 0,j = 0;
        clock_t _start;
        double times = 0;
        srand((int)time(NULL));
        for(i = 0; i < LEN; ++ i)
        {
                a[i] = rand()%(LEN);
                b[i] = a[i];
                c[i] = a[i];
                d[i] = a[i];
// printf("%d	",a[i]);
        }
// printf("
");
        _start = clock();
        find_Kmin_num_1(a,LEN,K);
        times = (double)(clock() - _start)/CLOCKS_PER_SEC;
        printf("快速排序的查找需要:%f
",times);
        _start = clock();
        find_Kmin_num_2(b,LEN,K);
        times = (double)(clock() - _start)/CLOCKS_PER_SEC;
        printf("快速选择的查找需要:%f
",times);
        _start = clock();
        find_Kmin_num_3(c,LEN,K);
        times = (double)(clock() - _start)/CLOCKS_PER_SEC;
        printf("最大堆的查找需要:%f
",times);
        _start = clock();
        find_Kmin_num_4(d,LEN,K);
        times = (double)(clock() - _start)/CLOCKS_PER_SEC;
        printf("最小堆的查找需要:%f
",times);
        return 0;
}

检测算法的性能：

[gong@Gong-Computer interview]$ gcc -g minKnum.c -o minKnum
[gong@Gong-Computer interview]$ ./minKnum
快速排序的查找需要:0.130000
快速选择的查找需要:0.020000
最大堆的查找需要:0.000000
最小堆的查找需要:0.010000

  

从结果可知，快速排序的算法效果最差，而最大堆的效果最好，最小堆的效果其次，但是最大堆运用了额外的内存空间。因此在内存空间限制的情况下，考虑最小堆是比较合适的。但是最大堆的思想确实很精妙的，运用了类似桶排序的性质。

 

为了说明算法能否实现前K个最小值的查找，改变数组大小为50，并打印各个方法完成的情况，查找前10个数据，实验结果如下所示：

[gong@Gong-Computer interview]$ ./minKnum
15    38    14    43    31    45    42    1    32    23    43    34    9    4    45    31    25    48    8    42    40    27    36    30    32    4    11    23    47    12    24    14    1    40    8    32    36    0    35    18    26    28    2    35    35    49    17    12    48    27    
0    1    1    2    4    4    8    8    9    11    
快速排序的查找需要:0.000000
1    9    4    8    4    11    1    8    0    2    
快速选择的查找需要:0.000000
11    8    9    4    2    1    8    1    4    0    
最大堆的查找需要:0.000000
0    1    1    2    4    4    8    8    9    11    
最小堆的查找需要:0.000000

从上面的实验结果可知，四种方法都是实现了获得前K个最小元素。

转自：http://blog.chinaunix.net/uid-20937170-id-3347493.html