数据结构与算法（十三）——红黑树2 Craftsman

三、删除

1、介绍

　　红黑树的删除类似于排序二叉树，排序二叉树主要分为三种情况：
　　（1）删除没有左孩子且没有右孩子的结点。即：度为0。
　　（2）删除只有左（右）孩子的结点。即：度为1。
　　（3）删除有左孩子且有右孩子的结点。即：度为2。
　　由于红黑树还有颜色的区分，所以在上述三种情况的基础上加上颜色，就是六种情况。以 {15, 7, 45, 3, 10, 25, 55, 1, 5, 75} 为例：

　　 红黑树有六种情况：
　　（1）删除度为 0 的黑色结点。比如：10、25。
　　（2）删除度为 0 的红色结点。比如：1、5、75。
　　（3）删除度为 1 的黑色结点。比如：55。
　　（4）删除度为 1 的红色结点。这种情况不存在。
　　（5）删除度为 2 的黑色结点。比如：3、15。
　　（6）删除度为 2 的红色结点。比如：7、45。

2、说明

　　论证：度为 1 的红色结点，在红黑树中，是不存在的！
　　所有度为 1 的情况只有以下 4 种，这里都画的右孩子，左孩子也是同理。

　　其中：
　　"黑-黑"和"红-黑"，这两种情况，都不符合红黑树的性质（4）从任意一个结点到其所有叶子结点，所经过的黑色结点数目必须相等。
　　"红-红"，不符合红黑树的性质（5）所有红色结点的两个孩子结点必须是黑色（即，红色结点不能连续）。
　　只有"黑-红"这种情况存在。所以，度为 1 的结点，也必然是"黑-红"这种情况。

3、分析

　　情况（1）删除度为 0 的黑色结点：比较复杂，后面专门讨论。
　　情况（2）删除度为 0 的红色结点：直接删除即可。
　　情况（3）删除度为 1 的黑色结点：必然是"黑-红"的结构，则，删除当前结点（A），让孩子结点（B）代替A，并将B改为黑色。
　　情况（4）删除度为 1 的红色结点：这种情况不存在。
　　情况（5）删除度为 2 的黑色结点：
　　比如：删除 15，用其前驱10（后继也可以）的值代替15，再删除10（跳到情况1）即可。

　　比如：删除 15，用其前驱10（后继也可以）的值代替15，再删除10（跳到情况3）即可。

　　比如：删除 15，用其前驱12（后继也可以）的值代替15，再删除12（跳到情况2）即可。

　　情况（6）删除度为 2 的红色结点：同情况（5），不再赘述。
　　下面，专门讨论情况（1）删除度为 0 的黑色结点。为了方便描述，先约定一下结点名称。

 

　　由于树的左子树和右子树是对称的，所以只讨论一边的情况即可。不妨令待删除结点 C 为左孩子，右孩子的对称情况同理即可。

4、兄弟结点B是红

　　B是红：则 P 一定是黑色。BL、BR一定存在且是黑色。
　　调整方案：先对 P 左旋；然后B 和 P 互换颜色。（需注意旋转后，这里的 B 就不是 C 的兄弟结点。后面的描述不赘述）。此时跳转到下面 B（此时的B是BL，BL才是C的兄弟结点） 是黑的情况。

5、兄弟结点B是黑

　　B是黑：则孩子结点BL和BR要么不存在，要么存在且为红色。不可能是黑色的结点，这会违背性质（4）从任意一个结点到其所有叶子结点，所经过的黑色结点数目必须相等。
　　情况一：BR存在且为红，B的度为1。这里包含了度为2的情况。
　　调整方案：先对 P 左旋；然后B 和 P 互换颜色，将BR涂黑；最后直接删除C。

　　情况二：BR不存在，BL存在且为红，B的度为1。
　　调整方案：先对 B 右旋；然后BL 和 B 互换颜色；跳转到上面的情况一；

　　情况三：BL、BR都不存在，B的度为0。
　　调整方案：这里，又要分两种情况讨论，P是红色还是黑色？
　　（1）P是红色
　　调整方案：P 和 B 互换颜色；直接删除C。

　　（2）P是黑色
　　调整方案：将 B 涂红；直接删除C；将node指向 P，递归进行平衡调整（不再删除结点），直到 node 指向根 root 结点。
　　说明：最后一步有点不好理解。删除C后，P的左右子树黑色结点数相等了。但是经过P的路径，即：G（P的父结点）的左（右）子树黑色结点数会减 1。所以，需要递归调整 P。

6、代码

　　代码示例：完整的红黑树插入及删除

public class RBTree<T extends Comparable<T>> {
    // 根结点
    private RBNode<T> root;

    public RBTree() {
    }

    public RBTree(T[] arr) {
        if (arr == null || arr.length == 0) {
            return;
        }

        for (T i : arr) {
            this.add(i);
        }
    }

    // 查找结点 t
    public RBNode<T> findRbNode(T t) {
        return this.findRbNode(t, root);
    }

    private RBNode<T> findRbNode(T t, RBNode<T> node) {
        if (t == null || node == null) {
            return null;
        }

        if (t.compareTo(node.value) == 0) {
            return node;
        }
        if (t.compareTo(node.value) < 0) {
            return this.findRbNode(t, node.left);
        } else {
            return this.findRbNode(t, node.right);
        }
    }

    // 查找结点 t 的前驱
    private RBNode<T> precursor(T t) {
        final RBNode<T> node = this.findRbNode(t);
        if (node == null) {
            return null;
        }
        return this.precursor(node);
    }

    private RBNode<T> precursor(RBNode<T> node) {
        // 左子树的最大值
        if (node.left != null) {
            RBNode<T> t = node.left;
            while (t.right != null) {
                t = t.right;
            }
            return t;
        } else {
            // 这里在删除的情况下是不存在的.但是,就找前驱后继来说是存在的.
            RBNode<T> temp = node.parent;
            RBNode<T> ch = node;
            while (temp != null && ch == temp.left) {
                ch = temp;
                temp = temp.parent;
            }

            return temp;
        }
    }

    // 查找结点 t 的后继
    private RBNode<T> successor(T t) {
        final RBNode<T> node = this.findRbNode(t);
        if (node == null) {
            return null;
        }
        return this.successor(node);
    }

    private RBNode<T> successor(RBNode<T> node) {
        // 右子树的最小值
        if (node.right != null) {
            RBNode<T> t = node.right;
            while (t.left != null) {
                t = t.left;
            }
            return t;
        } else {
            // 这里在删除的情况下是不存在的.但是,就找前驱后继来说是存在的.
            RBNode<T> temp = node.parent;
            RBNode<T> ch = node;
            while (temp != null && ch == temp.right) {
                ch = temp;
                temp = temp.parent;
            }

            return temp;
        }
    }

    public void delete(T value) {
        final RBNode<T> node = this.findRbNode(value);
        if (node == null) {
            System.out.println("待删除的结点:" + value + " 不存在~");
            return;
        }

        this.delNode(node);
    }

    private void delNode(RBNode<T> node) {
        final int degree = node.getDegree();
        // 度为 0
        if (degree == 0) {
            // 1.红色.直接删
            if (node.red) {
                this.freeDegree0(node);
            } else {
                // 2.黑色
                if (node == root) {
                    this.freeDegree0(node);
                } else {
                    this.delBlackNode(node);
                }
            }
        } else if (degree == 1) {
            // 度为 1.一定是 "黑-红"
            if (node.left != null) {
                node.value = node.left.value;
                node.left = null;
            } else {
                node.value = node.right.value;
                node.right = null;
            }
        } else {
            // 度为 2
            final RBNode<T> precursor = this.precursor(node);
            node.value = precursor.value;
            this.delNode(precursor);
        }
    }

    /* 删除度为 1 的黑色结点 */
    private void delBlackNode(RBNode<T> node) {
        RBNode<T> temp = node;

        // 递归调整
        while (temp != root) {
            final RBNode<T> p = temp.parent;
            final RBNode<T> brother = temp.getBrother();

            // 兄弟 B是红
            if (brother.red) {
                this.adjustCase1(temp); // 经过adjustCase1后,兄弟是黑色
            } else {
                // 兄弟 B是黑 .有孩子
                if (brother.left != null || brother.right != null) {
                    if (temp == p.left) {
                        if (brother.right != null) {
                            this.adjustCase2(temp);
                        } else {
                            this.adjustCase3(temp);
                        }
                    } else {
                        if (brother.left != null) {
                            this.adjustCase2(temp);
                        } else {
                            this.adjustCase3(temp);
                        }
                    }

                    break;
                } else {
                    // C-黑.兄弟 B是黑. 且没有孩子
                    // p-红
                    if (p.red) {
                        brother.red = true;
                        p.red = false;
                        this.freeDegree0(temp);
                        break;
                    } else {
                        // p-黑
                        brother.red = true;
                        this.freeDegree0(temp);
                        temp = p;
                    }
                }
            }
        }
    }

    // C-黑. B-红
    private void adjustCase1(RBNode<T> node) {
        final RBNode<T> p = node.parent;
        // 左孩子.(左右对称的)
        if (node == p.left) {
            this.leftRotate(p);
        } else {
            this.rightRotate(p);
        }

        node.parent.red = true;
        node.parent.parent.red = false;
    }

    // C-黑. B-黑. BR-红 (远侄子)
    private void adjustCase2(RBNode<T> node) {
        final RBNode<T> p = node.parent;
        if (node == p.left) {
            this.leftRotate(p);

            // B、P颜色互换
            node.parent.parent.red = node.parent.red;
            node.parent.red = false;
            // 涂黑远侄子
            node.parent.parent.right.red = false;
        } else {
            this.rightRotate(p);

            // B、P颜色互换
            node.parent.parent.red = node.parent.red;
            node.parent.red = false;
            // 涂黑远侄子
            node.parent.parent.left.red = false;
        }
        this.freeDegree0(node);
    }

    // C-黑. B-黑. BR-不存在. BL-红 (近侄子)
    private void adjustCase3(RBNode<T> node) {
        final RBNode<T> p = node.parent;
        final RBNode<T> brother = node.getBrother();
        // C 是左孩子.BL-红 (近侄子)
        if (brother.left != null) {
            rightRotate(brother);
        } else {
            // C 是右孩子.BR-红 (近侄子)
            leftRotate(brother);
        }

        // BL 和 B 互换颜色
        brother.red = true;
        brother.parent.red = false;

        // 跳转到adjustCase2
        this.adjustCase2(p);
    }

    // 直接删除度为 0 的结点 node
    private void freeDegree0(RBNode<T> node) {
        final RBNode<T> p = node.parent;
        // 待删除结点 node 就是root
        if (p == null) {
            root = null;
            return;
        }

        if (node == p.left) {
            p.left = null;
        } else {
            p.right = null;
        }
    }

    // 添加结点
    public void add(T value) {
        RBNode<T> newNode = new RBNode<>(value);
        if (root == null) {
            root = newNode;
            newNode.red = false;
            return;
        }

        // 1.添加
        this.add(root, newNode);

        // 2.调整
        this.fixUp(newNode);
    }

    private void fixUp(RBNode<T> newNode) {
        if (newNode == root) {
            newNode.red = false;
            return;
        }

        // newNode 的父结点为黑色
        if (!newNode.parent.red) {
            return;
        }

        /* 1.newNode 的叔叔结点存在且为红色。*/
        final RBNode<T> uncle = newNode.getUncle();
        if (uncle != null && uncle.red) {
            newNode.parent.red = false;
            uncle.red = false;

            newNode.parent.parent.red = true;
            this.fixUp(newNode.parent.parent);
        } else {
            /* 2.newNode 的叔叔结点不存在，或者为黑色。*/
            final RBNode<T> grandFather = newNode.getGrandFather();
            // 2.1左左
            if (newNode == grandFather.left.left) {
                this.rightRotate(grandFather);
                newNode.parent.red = false;
                grandFather.red = true;
            }
            // 2.2左右
            else if (newNode == grandFather.left.right) {
                this.leftRotate(newNode.parent);
                this.rightRotate(grandFather);
                newNode.red = false;
                grandFather.red = true;
            }
            // 2.3右右
            else if (newNode == grandFather.right.right) {
                this.leftRotate(grandFather);
                newNode.parent.red = false;
                grandFather.red = true;
            }
            // 2.4右左
            else if (newNode == grandFather.right.left) {
                this.rightRotate(newNode.parent);
                this.leftRotate(grandFather);
                newNode.red = false;
                grandFather.red = true;
            }
        }
    }

    // 按 排序二叉树 的规则插入结点
    private void add(RBNode<T> root, RBNode<T> newNode) {
        if (newNode.value.compareTo(root.value) <= 0) {
            if (root.left == null) {
                root.left = newNode;
                newNode.parent = root;
            } else {
                this.add(root.left, newNode);
            }
        } else {
            if (root.right == null) {
                root.right = newNode;
                newNode.parent = root;
            } else {
                this.add(root.right, newNode);
            }
        }
    }

    // 左旋
    private void leftRotate(RBNode<T> node) {
        if (node == null) {
            return;
        }
        final RBNode<T> p = node.parent;

        // 左旋. 应该认为 temp 不为null
        final RBNode<T> temp = node.right;
        node.right = temp.left;
        if (temp.left != null) {
            // 该结点可能不存在
            temp.left.parent = node;
        }

        temp.left = node;
        node.parent = temp;

        // 旋转完成.修正根结点与父结点
        // 1.node为根结点
        if (node == root) {
            root = temp;
            temp.parent = null;
            return;
        }

        // 2.node不为根结点
        // node 为父结点的右孩子
        if (node == p.right) {
            p.right = temp;
        } else {
            p.left = temp;
        }
        temp.parent = p;
    }

    // 右旋
    private void rightRotate(RBNode<T> node) {
        if (node == null) {
            return;
        }

        final RBNode<T> p = node.parent;

        // 右旋. 应该认为 temp 不为null
        final RBNode<T> temp = node.left;
        node.left = temp.right;
        if (temp.right != null) {
            // 该结点可能不存在
            temp.right.parent = node;
        }

        temp.right = node;
        node.parent = temp;

        // 旋转完成.修正根结点与父结点
        // 1.node为根结点
        if (node == root) {
            root = temp;
            temp.parent = null;
            return;
        }

        // 2.node不为根结点
        // node 为父结点的右孩子
        if (node == p.right) {
            p.right = temp;
        } else {
            p.left = temp;
        }
        temp.parent = p;
    }

    // 中序遍历
    public void infixOrder() {
        this.infixOrder(root);
    }

    private void infixOrder(RBNode<T> root) {
        if (root != null) {
            this.infixOrder(root.left);
            System.out.print("-->" + root.value + ":" + (root.red ? "红" : "黑"));
            this.infixOrder(root.right);
        }
    }

    /**
     * 红黑树 树结点结构
     */
    protected static class RBNode<T extends Comparable<T>> {
        private T value;
        // 默认为 红色 结点
        private boolean red = true;

        private RBNode<T> left;
        private RBNode<T> right;
        private RBNode<T> parent;

        public RBNode() {
        }

        public RBNode(T value) {
            this.value = value;
        }

        // 返回结点的度
        public int getDegree() {
            if (this.left == null && this.right == null) {
                return 0;
            }

            if ((this.left != null && this.right == null) || (this.left == null && this.right != null)) {
                return 1;
            }

            return 2;
        }

        public RBNode<T> getUncle() {
            final RBNode<T> grandFather = this.parent.parent;
            final RBNode<T> parent = this.parent;

            if (parent == grandFather.left) {
                return grandFather.right;
            }

            if (parent == grandFather.right) {
                return grandFather.left;
            }

            return null;
        }

        public RBNode<T> getGrandFather() {
            return this.parent.parent;
        }

        public RBNode<T> getBrother() {
            final RBNode<T> p = this.parent;

            return this == p.left ? p.right : p.left;
        }

        @Override
        public String toString() {
            return "RBNode{" +
                    "value=" + value +
                    ", red=" + red +
                    '}';
        }
    }
}

　　代码示例：测试

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        // Integer[] integers = {15, 7, 45, 3, 10, 25, 55, 1, 5, 75};
        Integer[] integers = {500, 100, 750, 25, 300, 550, 800, 15, 50, 520, 600, 510};
        RBTree<Integer> tree = new RBTree<>(integers);
        tree.infixOrder();

        tree.delete(300);
        System.out.println("");
        tree.infixOrder();
    }
}

　　最后，推荐一个在线构建红黑树的地址：https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/RedBlack.html  用于读者验证上述代码的结果。上述测试案例构建的红黑树为：