计算机中补码的数学运算逻辑及证明

1. 问题

我们知道，在计算机中是用补码来存放实际的正负数的，那么计算机为什么要用补码来存放数据，计算机课本中，那个补码 = 反码 + 1的公式又是怎么来的？

要了解这些问题的答案，我们先要了解一些基本的知识，最基本的同余公式这里就不讲了，看本帖之前需要去离散数学或数论中了解下基本的同余运算即可。

2. 计算机的字长和同余计算

计算机的字长是指计算机运算时，能存放的最大数字的的位长，如我们常说的32位机，字长就是32位的，寄存器只有32bit，最多能放32个1，能表达的最大数字就是2³² - 1

当超过这个数字后，由于无法存储，会被计算机丢弃，同时会设置CPU的溢出标志位，这就是所谓的溢出

为了简单，我们用8位机来做演示，即最大能表示的数字是2⁸ - 1

记m = 2⁸

所以，计算机的计算 (a + b)时，实际上计算的是 (a + b) % m (mod m)，超过m的部分都会被丢弃，只取余数的部分，即计算机中的计算实际都是一个模m的同余计算

如 1000 0000 + 1000 0001 = 1 0000 0001

由于最高位超出最大能够表示的数，多出的位将溢出丢弃，所以最后的结果为 0000 0001 = 1

3. 补码的定义和计算

设m > b >= 0，b为整数

则b的补 b = m – b （注意，这里定义的是补，而不是补码，不要弄混了）

由于有正负数，计算机中对正负数的补码进行了区分定义：

1> 正整数b的补码为自身，即b的补码仍为b

2> 负整数-b的补码为b的补，即b

我们知道，a - b即可转化为 a + (-b)，如果用补码来运算

a – b = a + (-b)  (mod m) 在计算机中计算的是 a + b  (mod m)

那么他们的同余吗（即他们模m后的值相等吗）？

∵ b = m – b

∴ a + b = a + (m – b)

          ≡ a – b (mod m)

∴ 将负数转化为补码进行计算后，仍然是成立的

所以，计算机中用补码来储存所有的数后，就不需要增加减法器了，用加法器就可以代替计算减法，这样能节省电路设计，当然，这还只是其中的一个好处之一

4. 负数的表示和运算

前面讲了计算机中用补码来存储数字，我们知道，在8位机中，-1的补码为 1111 1111 = 255，那么在8位机中，这个数字即可以表示是-1的补码，也可以表示是255的补码，这就产生一个冲突了。

为了解决这种冲突，计算机中，从可用的8位中挪用了一个最高位来区分正负数，即当最高位为1时，该数为负数，为0则表示正数

这样，由于最高位被挪用，8位机在表示正负数时，就只有7位有效数字了，设m₂ = 2⁷ = 1000 0000 = 2⁸ / 2 = m/2

正负数仍用低7位的补码来表示，此时的模要换成m₂了。

如-1，1模m₂的补码为 (m₂-1) = 0111 1111，然后将最高位置为1,最终在计算机中表示为： 1111 1111(即oxFF)

这时，我们前面定义的补码还有用吗？运算的法则还需要改变吗？

1> a + b

当 a + b 小于 m₂时，不会向符号位进位，所以结果就是 a + b，没问题

当2个正整数相加大于或等于m₂时，就会向最高位进位，这时相对m₂来说是溢出了，最高位会变为1，即(a+b)最后会得到一个负的结果，这个结果是无意义的，所以计算时要注意结果是否溢出

测试代码：

设置带符号和10进制显示：

测试结果：

从图中可以看出，100 + 100 = 200 = 0xC8 =1100 1000 = –56

由于计算溢出，明显-56不是我们想要的结果

2> a + (–b)

当加上一个负数时，-b在计算机中的带符号的补码表示为: m₂ + (m₂ – b) = 2m₂ – b = m – b   （m₂ = 1000 0000，任何小于m2的数加上m2就相当于将其符号位变为1）

∴ a – b = a + (m – b)

         ≡ a – b (mod m)

即带符号的补码在负数运算中，仍然有效

但有个疑问，如果 a > b， a-b 为正数，计算完毕后符号位应该是0，当a < b时，a-b 为负数， 符号位应该是1，情况是这样的吗？

4.2.1 当 a > b时

∵ a < m₂

∴ a – b < m2 – b < m₂

∴ (a – b)不会超过m₂，即不会溢出到符号位，符号位仍会为0

4.2.2 当  a < b时

a – b ≡ m + a – b  (mod m)

       ≡ 2m₂ + a – b   (mod m)

       ≡ (m₂ – b) + m₂  + a   (mod m)

∵ m₂ >  b

∴ (m₂ – b) > 0

m > (m₂ – b) + m₂  + a > m₂ 

∴ a < b时，一定会向符号位溢出，即符号为一定会变为1

同时，a – b ≡ a – b (mod m₂)

∴ 溢出后，低7位的数与a-b仍是同余的

所以，带符号位的补码运算，仍和不带符号位的补码运算规则一样，计算时将符号位带入计算，结果仍然一致，这样补码的第二个好处就出来了，即表示带符号的计算时，不用关心符号位。

4.2.3 当 a == b时，以及a和b中有0的情况

这个情况很简单了，就不证明了

5. 补码和反码

那么如何求一个数的补码呢，正数没问题，就是自身，但负数呢，上面已有简单的公式 –b → b = m – b, 但这里需要用到减法计算，而为了节省电路设计，我们用补码是为了省去减法器的，这就矛盾了，怎么办?

看过书的同学已经知道，用反码来计算 : 补码 = 反码 + 1

这个公式如何来的:

1> 反码的定义

我们知道，反码即是讲原来为0的位变为1， 为1的位变为0,

我们也知道一个集合加上其反，就等于全集

即b + ~b = 1111 1111 = 2⁸ – 1 = m - 1

∴ m = b + ~b + 1

∴ b = m – b = (b + ~b + 1) – b = ~b + 1

这就是补码运算的著名公式的来源