贪婪算法硬币找零最优解问题证明

1. 问题

如果硬币的面值是c⁰, c¹, …, c^k,则贪婪算法总是用最少的硬币找零

2. 证明

2.1 一个硬币的找零方式可以用如下公式来表示

m₀c₀ + m₁c₁ + … + m_kc_k = S

m_i = 每种面值的硬币的数量(0, x)

c_i = 硬币的面值

根据题意 S = m₀c⁰ + m₁c¹ + … + m_kc^k

2.2 正面证明没有合适的公式推导，因为贪婪算法没有合适的公式表达，尝试反证

假设有一种非贪婪算法的最优找零方案 S1 = m₀c⁰ + m₁c¹ + … + m_kc^k

贪婪算法的找零方案 S2 = n₀c⁰ + n₁c¹ + … + n_kc^k

假设从k开始，到x(x <= k)对应的面值的硬币时，m_x != n_x

∵贪婪算法每次都讲尽可能的使用最大面值的硬币找零，所以n_x > m_x (因为S2的找零方案不同于S1，所以一定会有这么一个x满足条件)

我们考虑最小情况，n_x - m_x = 1

1c^k = c⁰ + (c-1)c⁰ + (c-1)c¹ + … + (c-1)c^k-1 > (c-1)c⁰ + (c-1)c¹ + … + (c-1)c^k-1

∵S1的找零方案中，m(m < k)不可能大于或等于c（当m_x > c时，就可以将c个m_x换成更高位的面值了，这样硬币数会减少）

∵S1 = m₀c⁰ + m₁c¹ + … + m_kc^k-1 <= (c-1)c⁰ + (c-1)c¹ + … + (c-1)c^k-1 < 1c^k

∵S1中剩下的面值小于c^k的硬币面值总和不会大于一个c^k的面值

∴ S1 != S2

∴ S1不存在，S2的贪婪算法是最优解

2.3 《离散数学及其应用》书中贪婪算法的反例

有面值1, 10, 25的硬币，找零30。

贪婪算法的解：5c₀ + 0c₁ + 1c₂ =  5*1 + 0*10 + 1*25 = 30，共需6枚硬币

而最优解是：0c₀ + 3c₁ + 0c₂ =  0*1 + 3*10 + 0*25 = 30，只需3枚硬币

因为用3枚10面值的硬币不能用任何25面值的硬币和10面值的硬币代替，所以换成高面值的硬币不一定会使硬币减少，所以2.2的证明无法在此应用

3. 扩展

从2.2的证明中可以看出，当贪婪算法是最优解时，只要c^x = n*c^x-1,2.2的证明同样是成立的

所以硬币的面值是k⁰c, k¹c, …, kⁿc时（如2， 10， 50）时，也是成立的