1、问题
1.1 苹果装箱
小明家摘了123个苹果,10个苹果可以装满1箱，10箱苹果就可以装满1车拉到批发市场去出售了，问这些苹果一共能装满几车，几箱，还剩几个苹果？
聪明的朋友可能直接给出答案是1车2箱，最后剩3个苹果。
计算的过程：
123个 / 10 = 12箱，余3个苹果
12箱 / 10 = 1车，余2箱
当然，有朋友会立即指出，为啥要这么SB的算，123的百位1不就是1车，十位2 = 2箱，个位3 = 3个
没错，这就是123这个数表示的意义。百位表示车的数量，十位表示箱的数量，个位表示剩下苹果个数。
假设我们的苹果每满10个就必须装箱，每满10箱就必须装车卖掉（否则就烂了），而这个装箱装车就是我们所谓的进位。
1.2 银行换钱
小明现在有123个1分硬币，想去银行换成整的，最后可换得1元2毛零3分。
这里同样的，1元即是百位的数，2毛即是十位的数，3分就是位的数，这就是数字说代表的现实意义。
2、位的意义及数学概念
2.1 万能公式
所有的十进制数都可以用一个公式来表示：
指数n = an所在的位数，个位n=0，十位n=1，依次递增
而an = 对应位数上的数值
10 = 十进制
那么就有一个万能公式来描述所有进制的记数：
2.2 问题1.1的另一个思考
123个苹果，如果交给计算机去计算能装满几车，几箱，还剩几个苹果？
这时候计算机不能用眼睛去看出123这个数字说表示的意义了，但发现用1.1的计算过程计算机可以描述出来：
a = num % 10; //a 依次等于个、箱、车 num = num / 10; Loop…
同时可能有的朋友有一种想法：
车的指数n=2，貌似把num / 100 = 1 就是车的数量
但是有2个问题：
- 计算机不知道123的数字的长度，假设我们是23个苹果，再去除100就是得到的商是0，0一般是自动忽略的，故此步是多余计算的
- 如果要求箱的数量，num / 10 = 12，这就不对了
如果求余数也会有类似的问题，但求最后剩下的苹果个数时，余数总是对的：
123 % 10 = 3 个
所以才有每次除10的操作，依次让箱、车的位变为个位，也就是编程中的右移操作，然后再求余就没什么问题了，这时候我们多想，要是10进制也有位移操作符多好啊
2.3 10进制的移位操作
当我们把 num 除 10时（余数丢弃，不处理小数），会有一个神奇的现象：
123 / 10 = 12
12 / 10 = 1
这实际上已经是在进行右移操作了，所以10进制右移即是将其除10（左移即是将其乘10），而其余数即是被移除的最低位的数值
2.4 数学证明（注意不涉及小数计算，余数丢弃）
此时a1变为个位了，下次再继续除10，就会将a1移出了
于是，我们就能利用该方法不断的将数右移，然后移出的余数就是对应位上的数的值了。
3、应用
上面说了一堆公式和理论，没看出有啥实际的用处，而理论是为了实践服务的，那么下面就让我们来看看它如何干活的吧
3.1 计算问题1.1中的苹果装箱问题
void CTestMath::LoadApple(unsigned uNum) { int nSize = 0; unsigned uAppleArray[3] = {0}; while (uNum) { uAppleArray[nSize] = uNum % 10; uNum /= 10; nSize++; } printf("The apples can load to %d car, %d box, left %d apple ", uAppleArray[2], uAppleArray[1], uAppleArray[0]); }
3.2 将一个num以10进制形式的字符输出（和苹果装箱问题类似）
int CTestMath::OutputDecimalNum(unsigned uNum, char* pszNum) { int nSize = 0; while (uNum) { pszNum[nSize] = (uNum % 10) + '0'; uNum /= 10; nSize++; } //因为是从低位开始处理，所以放入pszNum的数是倒置的，需要对调一下 for (int i = 0; i < nSize / 2; i++) { char cTemp = pszNum[i]; pszNum[i] = pszNum[nSize - 1 - i]; pszNum[nSize - 1 - i] = cTemp; } pszNum[nSize] = NULL; return nSize - 1; }
4 16进制
4.1 回到问题1.1，随着小明卖苹果有钱了，新换了一辆大车，能装16箱苹果，同时增大了箱子，每箱能装16个苹果，此时123个苹果能装能装满几车，几箱，还剩几个苹果？
此时我们发现，从123的字面上不能直接给出答案了，怎么办？
采用1.1中类似的计算方法：
123个 / 16 = 7箱，余11个苹果，用16进制记为B
7箱 / 16 = 0箱，余7箱
所以答案是能装满0车，7箱，剩B(11)个苹果，记为数字"7B"
此时我们再来看"7B"这个数，就可以用1.1中的方法看出，十位"7"即为箱数，个位B即为剩余的苹果数，可以预计，百位即为车数，这就是不同进制的数的实际意义。
实际上，在我们的实际生活中，我们也有其他进制的应用，如时钟，秒到分，分到小时，即是60进制的，如要问123456秒等于多少小时，多少分，多少秒?即可用类似的算法解决。
4.2 数学证明
回到我们的万能公式，将其转化为16进制的形式：
此公式依然成立，所以我们能用同样的方法解决16进制中的问题
4.2 将10进制数转化为16进制数形式字符
int CTestMath::DecimaltoHexadecimal(unsigned uNum, char* pszHexNum) { int nSize = 0; char cTemp = 0; while (uNum) { cTemp = (uNum % 16); //如果数值大于9，则要用ABCDEF来表示 if (cTemp > 9) { cTemp += ('A' - 10); } else { cTemp += '0'; } pszHexNum[nSize] = cTemp; uNum /= 16; nSize++; } //因为是从低位开始处理，所以放入pszNum的数是倒置的，需要对调一下 for (int i = 0; i < nSize / 2; i++) { cTemp = pszHexNum[i]; pszHexNum[i] = pszHexNum[nSize - 1 - i]; pszHexNum[nSize - 1 - i] = cTemp; } pszHexNum[nSize] = NULL; return nSize - 1; }