贪心算法-区间调度问题解之证明

一、贪心算法　

　　定义：一个算法是贪心算法，如果它是通过一些小的步骤来一个求解，并且在每一步根据局部情况选择一个决定，使得某些主要的指标得到优化。

二、区间调度问题

　　1. 问题：我们有一组需求{1,2,3,......,N},第i个需求与一个开始时间s(i),结束时间f(i)相对应。如果没有两个需求在时间上重叠，我们就说需求的子集是相容的。

　　2. 目标：寻找一个最大的相容子集O.

　　3. 算法：

　　　　初始令R是所有需求的集合，设A为空

　　　　　　While ( |R| > 0 )　　

　　　　　　　　选择一个最早结束的需求

　　　　　　　　把i加入到A中

　　　　　　　　在R中删除所有与i不相容的需求

　　　　　　End

　　　　　　返回集合A作为被接受的需求的集合

 

　　　　算法规则：该贪心算法的规则是，每一步选择一个最早结束的需求，尽快释放资源。

 

　　4. 证明算法的正确性：

　　假设O是最优解，由于最优解可能有多个，所以，我们只需要证明|A|=|O|，既证明集合A与集合O包含的需求个数相等。显然，A,O都是相容的，既A,O中的任意两个需要都不会重叠。

　　算法思想：该证明主要是想找出这样一种认识，我们的贪心算法“领先”于这个最优解O. 我们把贪心算法构造的部分解与最优解O初始的一段进行比较，并且证明贪心算法以一步接一步的方式做的更好。

　　假设，A = { i₁,i₂,......,i_k }, O = { j₁,j₂,......,j_m } ,既我们要证明k=m；同时，我们假设，A中的需求按照加入到A的顺序排序，O中的需求也按照对应区间的自然顺序排序。既有：

　　　　　　对任意的i,有 f(i_r) <= s(i_r+1)

　　　　　　对任意的j,有 f(j_r) <= s(j_r+1)

 

　　现用数学归纳法证明k=m

　　1）r=1 ,  显然有f(i₁) <= f(j₁)

　　　　因为，贪心算法每一步骤都是选择最早结束的区间，故而有f(i₁) <= f(j₁)

　　2）假设第r-1步有，f(i_r-1) <= f(j_r-1)

　　3）第r步，证明f(i_r-1) <= f(j_r-1)

　　　　因为O是相容的，故而有：f(j_r-1) <= s(j_r)

　　　　又因为：f(i_r-1) <= f(j_r-1)

　　　　所以：f(i_r-1) <= f(j_r-1) <= s(j_r)

　　　　既：f(i_r-1) <= s(j_r)

　　　　根据以上贪心算法知，在第r步区间j_r 还在R中，而贪心算法的第r步是要在R中选择一个最早结束的区间i_r,所以有：f(i_r) <= f(j_r)

　　　　　　

　 总结: 对任意的r，都有f(i_r) <= f(j_r)

　　现在用反证法证明m=k,既A是最优解：

　　假设A不是最优解，既O中存在一个需求j_k+1，该需求在j_k 结束之后开始，又因为f(i_k) <= f(j_k),故而在需求也在i_k 结束之后开始，故而j_k+1与 i₁,i₂,......,i_k相容，所以j_k+1在R中；而由贪心算法知，该算法结束时R为空，故而矛盾。所以A是其中一个最优解。