Description
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小明在打比赛，包括小明自己一共有 (p) 名选手参赛，每个人的得分是一个非负整数。最后的冠军是得分最高的人，如果得分最高的人有多个，就等概率从这些人中选一个当冠军。
现在小明已知了自己的得分大于等于 (r)，所有选手的得分和为 (s)。求小明获胜的概率，结果对 (998244353) 取模。
Solution
抄了个 LJC00118 的非 DP 做法。
考虑直接统计总方案数和合法方案数。
总方案数即把 (s-r) 个无标号小球放进 (p) 个可为空的有标号小盒里，那么式子就是 (dbinom{s-r+p-1}{p-1})。
对于合法方案数，枚举有 (i) 个人与自己同分为 (j)，则这部分的答案为 (frac{inom{n-1}{i-1}}{i} imes{f f}(n-i,s-ij,j))。
({f f}(a,b,c)) 为 (a) 个人，总分 (b)，所有人严格小于 (c) 的方案，容斥算。
#include<bits/stdc++.h>
typedef long long LL;
const int MOD=998244353;
void exGCD(int one,int ano,int &x,int &y) {
if(ano==0) {
x=1;
y=0;
}
else {
exGCD(ano,one%ano,y,x);
y-=(one/ano)*x;
}
}
int inv(int val) {
int res,w;
exGCD(val,MOD,res,w);
return (res%MOD+MOD)%MOD;
}
int far[5110],exfar[5110];
int C(int n,int k) {
if(n<k) return 0;
else return LL(far[n])*exfar[k]%MOD*exfar[n-k]%MOD;
}
int s,r,n,ans;
int f(int a,int b,int c) { // a persons exist, sum of scores is b, everyone's score < c
if(a==0) {
if(b==0) return 1;
else return 0;
}
int res=0,cur=1;
for(int i=0;i<=a && i*c<=b;++i) {
res=(res+LL(cur)*C(b-i*c+a-1,a-1)%MOD*C(a,i)%MOD+MOD)%MOD;
cur=MOD-cur;
}
return res;
}
int main() {
scanf("%d %d %d",&n,&s,&r);
far[0]=1;
for(int i=1;i<=s+n;++i) far[i]=LL(far[i-1])*i%MOD;
for(int i=0;i<=s+n;++i) exfar[i]=inv(far[i]);
for(int i=1;i<=n;++i) {
for(int j=r;j<=s && i*j<=s;++j) ans=(ans+LL(C(n-1,i-1))*f(n-i,s-i*j,j)%MOD*inv(i)%MOD)%MOD;
}
printf("%d
",int(LL(ans)*inv(C(s-r+n-1,n-1))%MOD));
return 0;
}