Part. 1 Stirling Number / FK.
Def. 定义 (egin{bmatrix}n \ mend{bmatrix}) 表示将 (n) 个元素分成 (m) 个环的方案数。
递推式为
[egin{bmatrix}n \ mend{bmatrix}=egin{bmatrix}n-1 \ m-1end{bmatrix}+(n-1)egin{bmatrix}n-1 \ mend{bmatrix}
]
即考虑已经放好的 (n-1) 个数，第一种情况是自成环即 (egin{bmatrix}n-1 \ m-1end{bmatrix})，第二种情况是放在某一个环内，可以放在任意一个已经放好的数前，即 ((n-1)egin{bmatrix}n-1 \ mend{bmatrix})。
边界为：
[egin{bmatrix}n \ 0end{bmatrix}=[n=0]
]
一个性质：
[n!=sum_{i=0}^{n}egin{bmatrix}n \ iend{bmatrix}
]
多项式形式：(egin{bmatrix}n \ mend{bmatrix}) 为 (f_{n}(x)=prod_{i=0}^{n-1}(x+i)) 的 (k) 次项系数。
Part. 2 Stirling Number / SK.
Def. 定义 (egin{Bmatrix}n \ mend{Bmatrix}) 表示将 (n) 个不同的球放进 (m) 个相同的盒子的方案数。
递推式为
[egin{Bmatrix}n \ mend{Bmatrix}=egin{Bmatrix}n-1 \ m-1end{Bmatrix}+megin{Bmatrix}n-1 \ mend{Bmatrix}
]
意义即前 (n-1) 个球放进了 (m-1) 的盒子里，(n) 就只有一种方法，如果前 (n-1) 个球放进了 (m) 个盒子，那么这个球就有 (m) 种放法。
容斥一下可以得到通项公式（背吧）
[egin{Bmatrix}n \ mend{Bmatrix}=frac{1}{m!}sum_{i=0}^{m}left((-1)^{i}{mchoose i}(m-i)^{n}
ight)
]
拆完组合数可以卷积 ( exttt{NTT}) 做，不过咱多项式学得废，就不整了。